В этом посте я расскажу что такое бесконечность, как её понимать и где же можно черпать материю для создания отдельного, невероятного мира фантазий.
Прежде чем перейти к миру бесконечности нужно определить где и как бесконечность покоится в нашей голове. Ведь это прекрасный арт!
Бесконечность может крытся вокруг нас почти везде. Каждый встречный кроет в себе арт бесконечности.
Арт бесконечности-это его картина мира.Полушарие мозга отвечаюшая за фантазию, может открыть нам другие миры, поля, в том и есть недосягаемый мир. Вы погружаетесь туда и поёте миру о себе. Может сужденно людям управлять этим миром, а может и нет.
Великие люди не могут создать предел мечтаний.
Бесконечный предел. Слова которые нельзя понять, но можно почувствовать. Фантазия не умирает как человек, фантазия распостроняется в самые разные миры, когда она накопится произойдёт...ожиаление!
Мир как будто востанет! Каждое неживое существо, предмет станет оживать. Всё человечество и не человечество достигнет предела и мы будем жить в мире фантазий и желаний как в знаменитом Гравити Фолз.
Что-бы попасть в мир бесконечности нужно просто заснуть. При сне наше сознание преврощается в материю и летит вверх, вверх и когда она переходит барьер можно начать сохдавать свой мир в бесконечном космосе и за его приделами!
На этом мои бредни подошли к концу, но осталось ещё кое что) Путешествие Тоторо в бесконечность и конечно бесконечность судей.
И первый судья VEROYATNOST9. Его бесконечность основанна на девушках) Мир ими захвачен, еденственный парень там это сам в9.
Рандомная Девака.
Второй Antonymayer . Его бесконечность это бескрайная африка, жирафы, чернокожие, жара и оазисы, мир антона это пекло с бескрайним миром удевительных приключений и стримов!
И третий судья это Кьянко, его бесконечность это эльфийский мир, бескрайние поля вишни, деревья, красота. Мир эльфийских желаний и борьбы жабок за вишню🍒🤍)
На это все. Приятно было поучавствовать в конкурсе! Это был незабываемый опыт провала)
Я - первая ноябрьская снежинка, знаменующая начало зимы.
Я - теплый весенний ветер после сурового февраля.
Я - Божий сын, который ступил на путь зла.
Я - герой, имя которого все забыли.
Я - злодей, преступления которого идут во благо людей.
Я - мать, провожающая сына каждое утро в школу.
Я - ребенок на похоронах близкого родственника.
Я - одинокий домик на отшибе деревни, о котором ходят жуткие истории.
Я - утренняя прогулка, когда весь мир еще спит.
Я - луч солнца, падающий на остывшую за ночь землю.
Я - кошмар, который страшно вспоминать утром.
Я - удача, опекающая нерадивого студента на экзамене.
Я - ошибка молодости, которую хочется забыть.
Я - грязная река, выходящая в чистое море.
Я - рассвет после бессонной тревожной ночи.
Я - старик, доживающий свои последние дни в кругу семьи.
Я - молодой саженец, который станет красивой спелой вишней.
Я - дерево, которое станет чьим-то гробом.
Я - мечта, которая мотивирует упорно работать.
Я - вода непригодная для питья.
Я - холодный душ с утра.
Я - хроническая головная боль.
Я - сытный ужин после рабочего дня.
Я - финальные титры фильма.
Я - вечер пятницы.
Я - ком, застрявший в горле.
Я - искренний смех с детской площадки.
Я - вырванный заусенец.
Я - теплая сторона подушки.
Я - тихое эхо из прошлого.
Я - громкое молчание.
Я - пустота.
Я - радость.
Я - жизнь.
Я - бесконечность.
Всем экии(это если что
*за сценой автор ругается с VladlenBelarом по поводу того, кому же достанется звание главного шизофреника сайта*
* * *
Бесконечность — удивительная штука. Никто ее не видел, не трогал, никто не может даже по-настоящему представить. Но о ней говорят, ею пользуются и достигают результатов. Бесконечность не помещается в уме, но с давних пор будоражит умы. Сегодня поговорим о том, откуда пошла бесконечность, как развивались представления о ней, и каково текущее положение дел в этой области.
Судя по всему, исторически первым приближением к понятию бесконечности стало понятие «очень большого числа». Когда-то большим числом считалось даже пресловутое «сорок сороков». Для тех, кому не хватало такого масштаба, имелись мириады (которые сейчас понимаются иносказательно, а в Древней Греции означали десятки тысяч). Или, если перейти от абстрактных количеств к конкретным величинам, можно взять время, которое требуется, чтобы сносить трое железных сапог и сгрызть три железных каравая. Сюда же можно отнести «тьму» (десять тысяч либо миллион, в зависимости от способа счета), легион (сто тысяч либо триллион), а также, внезапно, современные гугол и гуголплекс.
История последних двух чисел, придуманных математиком в беседе с малолетними племянниками, очень характерна. Наверное, многие из читателей играли в детстве в «кто назовет самое большое число» — и быстро убеждались, что в эту игру невозможно выиграть. Даже если ты знаешь число гуголплекс — противник может просто сказать «гуголплекс плюс один». Древние люди тоже это поняли, и все заверте…
Кто и когда впервые сделал гигантский шаг от легиона к бесконечности, точно установить вряд ли удастся. Вероятнее всего, это произошло примерно две с половиной тысячи лет назад. В тот период, плюс-минус век, упоминания настоящей бесконечности, а не просто чего-то очень большого, начинают встречаться и в учении пифагорейцев, и в древнеиндийских Упанишадах.
Древние греки, не успев выдумать бесконечность, сразу же ее невзлюбили и стали отождествлять с первобытным Хаосом. Определенная логика в этом есть: если что-то нельзя пересчитать, то о каком порядке может идти речь. Индусы же рассуждали о том, что если от бесконечного отнять конечную часть, то бесконечное от этого не уменьшится. Более того, они рассматривали целую иерархию бесконечностей, от «почти несчетных» до «бесконечно бесконечных». Звучит как что-то, чем слишком умные люди маются от безделья. Но, как мы увидим в следующей части, и те, и другие оказались удивительно прозорливы.
До сих пор мы говорили скорее о философии, а что насчет математики? Первые результаты, связанные с бесконечностью, получили древние греки. Евклид доказал, что существует бесконечное множество простых чисел. Ведь если это не так, можно перемножить их все, прибавить единицу — и получить число, которое не делится ни на одно из них. Евдокс же, чтобы найти площадь окружности, вписывал в нее правильные многоугольники, а затем бесконечно увеличивал у них число сторон.
На этом моменте остановимся подробнее.
Различие, которое отметил еще Аристотель, и которое остается важным по сей день — это различие между потенциальной и актуальной бесконечностью. Пояснить его можно так: потенциальная бесконечность — это когда у тебя в саду растет яблоня, и ты можешь сорвать столько яблок, сколько захочешь. Захочешь сотню — сорвешь сотню. Захочешь гуголплекс — сорвешь гуголплекс (если руки не устанут). Для любого наперед заданного числа найдется столько яблок, и даже больше.
Что же такое актуальная бесконечность? Это когда выходишь в сад и видишь, что на яблоне растет бесконечное число яблок. Сразу. И без всяких условных конструкций типа «сколько захочешь». Эту яблоню твои желания абсолютно не интересуют, она просто есть.
Древние греки бесконечности не доверяли в принципе, а актуальной ее разновидности — особенно. Вышеупомянутую теорему о простых числах они понимали именно в потенциальном смысле: что ежели златопоножным ахеянам понадобится мириад простых чисел, то их можно вычислить, а ежели мириад мириадов, то тоже можно, дайте только время. Про то, что существует бесконечное число простых чисел, среди сынов Эллады и речи не велось.
Даже геометрические прямые, которые нам в школьном учебнике описываются как бесконечные, у Евклида изначально были бесконечно продолжаемыми. Дескать, если надо — бери линейку и черти́ от забора до обеда.
Впрочем, несмотря на оговорки Евклида, актуальная бесконечность пришла в математику именно со стороны геометрии. И началось все с Архимеда.
Одно из выдающихся математических открытий Архимеда — выведенная им формула объема шара. Однако техника этого вывода была достаточно громоздкой. Архимед вписывал в половину шара «слоеный пирог» из множества почти плоских цилиндров. Похожий «пирог» он вписывал в большой цилиндр, из которого по центру был вырезан конус. Указав на то, что объемы этих «пирогов» всегда совпадают, какими бы тонкими ни были цилиндры и как бы плотно «пироги» ни заполняли исходные тела, Архимед сделал вывод, что и объемы самих тел равны.
Такая техника называется «метод исчерпывания», и она позволяла древним математикам решать задачи, для которых сейчас используют «новомодное» интегральное исчисление. Однако метод исчерпывания очень трудоемок и требует большой усидчивости. Вплоть до XVI века бедные математики пользовались им, вычисляя площади и объемы криволинейных фигур. А потом решили — хватит это терпеть. И открыли ларец Пандоры.
Новый метод назывался «метод неделимых», и суть его заключалась в замене потенциальной бесконечности на актуальную. Вместо того, чтобы делать слоеный пирог со сколь угодно тонкими коржами, можно взять бесконечное число бесконечно тонких слоев. Разрежем половину шара, цилиндр и конус параллельными плоскостями. В каждом сечении мы видим, что сумма двух окружностей дает третью — значит, и сумма двух объемов даст третий!
Новый метод, прекрасный в своей простоте, был назван «методом неделимых», или «методом Кавальери», в честь итальянского математика, который внес большой вклад в его развитие. Однако даже сам Кавальери понимал, что с этим методом что-то не так. Если применить его неправильно, то получится бредовый результат. Простейшая иллюстрация — так называемый «парадокс Кавальери»: два треугольника можно «расслоить» на одинаковые наборы отрезков, хотя площади у треугольников разные.
Актуальная бесконечность оказалась очень коварной штукой. Не зря Архимед ее опасался: используя что-то похожее на метод неделимых, чтобы угадать результат, он затем доказывал его строгим методом исчерпывания.
Примерно в то же время, что и Кавальери, с коварством актуальной бесконечности столкнулся и Галилей. Он обнаружил следующий парадокс: каждое натуральное число можно возвести в квадрат, следовательно, квадратов столько же, сколько натуральных чисел. Однако не каждое натуральное число является квадратом, следовательно, квадратов меньше, чем натуральных чисел. Получается, от бесконечности можно взять часть, и она окажется равна целому! Галилей так и не придумал, что с этим делать, и решил, что такие понятия, как «больше» и «равно», можно применять лишь к конечным количествам.
С одной стороны, было уже понятно, что использование актуальной бесконечности ведет к ошибкам и парадоксам. Но с другой стороны, когда метод неделимых срабатывал правильно, он был так удобен, что отказываться от него уже совершенно не хотелось. Поэтому, несмотря на критику (которой было немало), математика необратимо ступила на скользкий путь актуальной бесконечности.
Какое число самое маленькое? «Минус бесконечность!» — воскликнет догадливый читатель. А если без учета знака, по абсолютной величине? Тогда, разумеется, ноль. А если кроме ноля? Тут читатель может и призадуматься. Игру в самое маленькое число при таких правилах невозможно выиграть, как и игру в самое большое. Если кто-то назовет число «единица, деленная на гуголплекс», всегда можно ответить «единица, деленная на гуголплекс и еще пополам». Но что если самое маленькое число, большее ноля, все-таки существует? Тогда, чтобы окончательно всех запутать, надо назвать его труднозапоминаемым словом «инфинитезималь», от латинского infinitesimus — «бесконечный по счету, номер бесконечность». Грубо говоря, если играть в самое маленькое число бесконечно долго, то бесконечным по счету ответом будет инфинитезималь.
Математик и священник Джон Валлис, придумавший символ бесконечности «∞», обозначал инфинитезимали как «1/∞». И с тем, и с другим он оперировал очень смело, что вызвало большое неудовольствие у Римской католической церкви. Католики в своих научных и философских воззрениях очень сильно опирались на труды Аристотеля, а тот решительно отвергал актуальную бесконечность в любом виде. К счастью, Валлис был англиканцем, и недовольство Папы Римского его совершенно не беспокоило. Однако это показательный пример того сопротивления, которое встречали математические бесконечности в течение всей своей истории.
Двое великих математиков XVIII века, Ньютон и Лейбниц, независимо друг от друга пришли к выводу, что бесконечно малые величины могут принести бесконечно большую пользу в математике. Например, с точки зрения математики не очень удобно давать определение касательной к кривой. Лайфхак, который работает для окружности («касательная пересекает окружность в ровно одной точке») не очень подходит для более сложных кривых. Используя понятие «бесконечной маленькости», можно сказать, что, грубо говоря, касательная пересекает кривую в двух бесконечно близких точках, а секущая идет «поперек» и проходит только через одну. А для нахождения объема криволинейной фигуры можно резать ее не на плоскости, как Кавальери, а на слои бесконечно тонкие, но не нулевой толщины. Так, слово за слово, и возникли дифференциальное и интегральное исчисление.
Впрочем, о действительно строгом обосновании речь еще не шла. Для бесконечно малых величин не было строгих аксиом, подобных правилам арифметики или геометрии Евклида. Более того, они нарушали предыдущие аксиомы — в частности, аксиому Архимеда, которая гласит, что даже очень маленький отрезок, взятый достаточное число раз, станет больше, чем любой наперёд взятый большой. Инфинитезимали неархимедовы — нет такого количества инфинитезималей, чтобы в сумме получилась хотя бы единица, деленная на гуголплекс.
Методы математического анализа работали «магически», зачастую приводили к неверным результатам и подвергались саркастической критике видных философов того времени. Епископ Беркли называл инфинитезимали «призраками почивших чисел». Есть мнение, что даже лилипуты в «Путешествии Гулливера» были небольшим стебом над инфинитезималями.
Несмотря на всю критику, полезность математического анализа была очевидна. С его помощью решались задачи из геометрии, физики, астрономии, которые без него решить было бы крайне трудоемко или даже вовсе невозможно. Ни один современный бухгалтер не променяет эксель на деревянные счеты, даже если эксель глючит и зависает. Точно так же и математики не спешили отказываться от матанализа из-за его недостаточной строгости и вовсю пользовались бесконечно малыми. А как известно, если безобразие нельзя прекратить, его нужно возглавить.
Строгая формализация математического анализа началась с Коши. И началась она как раз с того, что Коши отказался от инфинитезималей. Вместо них появились громоздкие формулировки, основанные на потенциальной бесконечности. Для примера рассмотрим классический анекдот про математиков.
В бар заходит бесконечное число математиков. Первый заказывает кружку пива, второй половину кружки, третий четверть кружки, четвертый одну восьмую… «Я понял», — говорит бармен, и ставит на стойку две кружки пива.
С точки зрения Ньютона и Лейбница, бесконечно большое количество математиков заказало количество пива, которое бесконечно мало отличалось от двух кружек. С точки зрения Коши, для всякого действительного число ε (эпсилон) существует такое натуральное число N, что после того, как первые N математиков заказали свое пиво, общий объем заказа отличался от двух кружек не более чем на ε. В этой формулировке нигде не фигурирует бесконечностный по счету математик или инфинитезимальный объем пива — в общем, все те вещи, которые триггерили просвещенную общественность. При этом свою работу (суммирование бесконечного ряда) эта формулировка делает не хуже, и даже лучше — исключает ошибки при работе с актуальной бесконечностью.
Впрочем, многие физики презирают такой формализм и по сей день пользуются формулировками в духе Ньютона, говоря о «достаточно малых» или «достаточно больших» величинах. И в этом есть некоторая логика. Если физика не умеет работать с расстояниями меньше планковской величины, то по сути они мало чем отличаются от инфинитезималей.
Этот вопрос так волнует любопытных школьников всех возрастов, что в завершение этой части мы сделаем ради него небольшое лирическое отступление.
В математическом анализе часто встречается знак бесконечности, и даже можно услышать утверждения в духе «единица, деленная на бесконечность, дает ноль». А раз так, то единица, деленная на ноль, даст бесконечность. Шах и мат, училка математики!
На самом деле все не так просто. Бесконечность в математическом анализе является не «настоящим» числом, а свернутым обозначением предела бесконечно возрастающей последовательности. И любую формулу, где участвует бесконечность, нужно трактовать не как простое арифметическое тождество, а как нечто в духе Коши. «Единица, деленная на бесконечность, дает ноль», в переводе на строгий математический язык означает «если у нас есть бесконечно возрастающая последовательность, и мы вместо каждого её элемента x возьмём 1/x, то получившаяся новая последовательность будет стремиться к нолю». Так что нет, уважаемые школьники, даже если вы заглянули в учебник матанализа, по-настоящему делить на ноль все еще нельзя.
На самом деле это очень хорошо — иначе можно было бы доказать, что любое число равняется любому другому, и любая арифметика потеряла бы смысл. Например, докажем, что двойка — это пятерка. Начнем с очевидного равенства 2 × 0 = 5 × 0. Если на ноль делить можно, то разделим на него обе части равенства. Вуаля, 2 = 5.
Для полноты рассказа необходимо упомянуть, что существуют хитрые алгебраические структуры, в которых деление на ноль разрешено — например, так называемые колеса. Но нужно понимать, что эти структуры состоят не из привычных нам чисел, в них действуют другие законы (например, неверно, что (1 + 1) × 1 = 2), и тамошний ноль — это не то же самое, что и наш. Может, на их «импортный» ноль делить и можно, но на наш «родной» все равно нельзя.
На этом кончается первая часть истории бесконечности. Во второй части вас ожидают море парадоксов, большие надежды, горькие разочарования и полный отвал башки.
* * *
Ну что ж, надеюсь вы всё поняли и не будете мне выносить мозг своими "Не Топлес, я идиот, я нифига не понимаю!". а на этом на сегодня всё, до свидания.
Я сделал это! Я уместил пост в 50 блоков! Я молодец!
Вы что-нибудь поняли?7
Всем привет. Вот и последний пост в нашей серии про краткую историю бесконечности. Надеюсь вы хоть сейчас что-нибудь поймёте. А мы начинаем!
Первый выпуск.
Второй выпуск.
* * *
История бесконечности потенциально бесконечна, но фактически, увы и ах, эта статья будет последней в нашем цикле. Кстати, предыдущее предложение звучало бы смешнее на английском (...but actually). Но я пишу её не на языке Ньютона и Шекспира, а на языке Колмогорова и Есенина, так что придётся читателю довольствоваться лишь потенциальным каламбуром.
В компьютерных RPG часто бывает три концовки: добрая, злая и true ending. В данном случае реальная жизнь повторяет за геймдевом, и в истории бесконечности все эти сюжетные ветки также присутствуют. Под катом я расскажу, в чём их смысл и какие персонажи класса «математик» прошли игру «Жизнь» с этими концовками.
Катсцена с флешбеком.
Учитывая все проблемы, связанные с бесконечностью, в математической вселенной логично считать её вселенским злом. А добрая концовка — это победа над злом. Поэтому вернёмся немного назад, в начало XX века, и поговорим подробнее о программе Гильберта.
В основе идей Гильберта лежала некая система убеждений под названием «финитизм». Я говорю «система убеждений», потому что финитизм не был строго формализованной теорией — скорее соображениями о том, как должна выглядеть строгая теория. Гильберт считал, что хорошие математические утверждения не должны оперировать актуальной бесконечностью. Потенциальная бесконечность допустима: например, мы можем можем построить аксиоматику натуральных чисел, взяв нуль и функцию «+1». Функцию «+1» можно применить сколько угодно раз (потенциальная бесконечность), но всё в порядке, пока мы ничего не говорим обо «всех натуральных числах» (актуальная бесконечность)... А вот утверждение «для каждого числа N существует число N+1» уже незаконно, в смысле — не финитно. Это не значит, что оно неверно (мы‑то понимаем, что оно верно). Просто в строгом математическом языке, согласно Гильберту, не должно быть слов «для каждого N», если мы не можем явно перечислить все эти N.
Впрочем, Гильберт вовсе не хотел уничтожить современную ему не‑финитную математику и заставить всех упражняться в громоздком и невыразительном финитном языке. Напротив, Гильберт хотел спасти математику. Он надеялся финитными средствами доказать её непротиворечивость: дескать, пусть мы и оперируем бесконечностями, но мы можем доказать, что имеем право это делать, не используя никаких бесконечностей.
Именно эту программу и разрушил Гёдель своей теоремой о неполноте. Возьмём, например, арифметику Пеано. Это одна из самых простых математических теорий. Но, несмотря на свою простоту, она уже не финитна: в ней можно говорить «для каждого N». Гильберт мечтал доказать её непротиворечивость с помощью более простой, финитной теории. А Гёдель доказал, что для этого нужна более сложная теория. Чтобы строго обосновать бесконечность, нужна бесконечность побольше.
Старый добрый ультрафинитизм.
Гёдель доказал, что Гильберт хотел слишком многого. Однако кое‑кто пришёл к парадоксальному выводу, что Гильберт хотел слишком малого. Проблем с теоремой о неполноте не случилось бы, если бы вопрос бесконечности был решён по‑настоящему радикально: запретом даже потенциальной бесконечности. Такая идеология получила название «ультрафинитизм», и её дедушкой стал совершенно не случайно упомянутый во вступительном абзаце великий русский поэт Сергей Есенин.
Нет, Есенин не был тайным математиком. Однако он был отцом. А вот его внебрачный сын, Александр Есенин‑Вольпин, был математиком и отцом ультрафинитизма. Вот такая вот генеалогия.
Есенин‑Вольпин во всём исходил из соображений крайнего скептицизма.
Применительно к математике это означает сомнение не только в бесконечности, но даже и в существовании очень больших конечных чисел. Например, что такое число пять — это легко понять, посмотрев на свою пятерню. А вот что такое пресловутый гугол? Это число больше, чем количество атомов во Вселенной — то есть в принципе, физически нельзя посмотреть на что‑то и воскликнуть — о, тут целый гугол этих штук! А раз так — правомерно ли пользоваться этим числом? Число ли это вообще?
Есенин‑Вольпин смотрит на вас, как будто пересчитывает ваши атомы.
Добрая ветка: финал.
Казалось бы, у Есенина‑Вольпина очень логичный взгляд на вещи. Нам не должны быть интересны утверждения о числах, которые настолько велики, что на практике никогда нам не понадобятся. И бухгалтеру, и программисту, и инженеру — всем, кроме математиков‑теоретиков, по факту достаточно очень ограниченного диапазона чисел. Так почему бы не построить реалистичную математику, которая работает в этом диапазоне и не изобретает континуумы?
И всё же по каким‑то парадоксальным причинам реалистичную математику так и не построили. У Есенина‑Вольпина были последователи, и всё же ультрафинитизм так и остался на уровне заявлений, программ, меморандумов. Плодотворной математической теории их него так и получилось.
Похоже, для того, чтобы считать 2 + 2 на калькуляторе в смартфоне, по каким‑то непонятным причинам всё же необходима бесконечность. И потому математик, играющий «за добро», в конце игры натыкается на непреодолимую стену.
У зла нет стандартов.
Пока одни математики пытались замести бесконечность веником под половик, другие вспоминали старые добрые деньки, когда Ньютон и Лейбниц, беря производные и интегралы, запросто оперировали инфинитезималями. Конечно, потом оказалось, что так нельзя, что этот подход не аксиоматичен и ведёт к ошибкам. Но вдруг существует строгая аксиоматическая теория, в которой можно будет взять бесконечно малое приращение функции и не получить по пальцам линейкой? Как оказалось, такая теория действительно возможна. И в середине XX века на её основе был создан нестандартный анализ
Если точнее, нестандартных анализов есть несколько, и основаны они на разных теориях. Но самым мейнстримным считается нестандартный анализ А. Робинсона, поэтому в дальнейшем будем говорить о нём. Разбор всех существующих нестандартных анализов потянул бы на целую кандидатскую диссертацию по истории математики.
Гипердейстивельность.
В нестандартном анализе Робинсона вместо привычного нам множества действительных чисел R используются множество гипердействительных чисел *R. Рассмотрим вкратце, как они устроены.
Во‑первых, действительные числа входят в гипердействительные. Мы их не выкидываем, только дополняем.
Во‑вторых, существуют инфинитезимали, бесконечно малые — числа, которые меньше по модулю, чем любое действительное число, но при этом не равны нулю.
В‑третьих, у любого действительного числа есть монада — совокупность гипердействительных чисел, которые бесконечно мало отличаются от него. Монада нуля — бесконечно малые числа. Монада единицы — те же бесконечно малые числа, но ещё плюс один. И так далее.
В‑четвёртых, есть бесконечно большие числа. Если разделить единицу на бесконечно малое число, получим бесконечно большое. И наоборот. На нуль по‑прежнему делить нельзя!
В‑пятых, если мы рассмотрим какую‑нибудь монаду «под микроскопом», увеличив её в бесконечное число раз, то увидим, что она повторяет структуру «большой» гипердействительной числовой прямой. Какие‑то бесконечно малые после умножения на бесконечность станут обычными действительными числами. Какие‑то — останутся бесконечно малыми (то есть они изначально были бесконечно малы по сравнению с теми, первыми бесконечно малыми). Окажется, что у каждого бесконечно малого есть своя «микромонада».
И наоборот, если мы сожмём гипердействительную прямую в бесконечное число раз, то множество R превратится в монаду нуля, а из бесконечно больших некоторые станут конечными, заместив R собой.
Что нам стоит *R построить.
Разумеется, пока нет строгой теории, всё описанное выше — это некая «математическая фантастика». Прежде чем пользоваться гипердействительными числами, нужно доказать, что их действительно возможно построить, что это не приведёт к противоречиям, и (крайне желательно) — что результаты, полученные в этом «гипердействительном анализе», применимы к нормальным числам и реальному миру.
Построение гипердействительных чисел Робинсоном можно описать так: как обычные числа строятся из цифр, так мы будем строить гипердействительные числа, используя в качестве «цифр» обычные действительные числа. Каждое действительное число состоит из одной «цифры» — самого себя. Бесконечно малые состоят из нуля «перед запятой» и каких‑то ненулевых «цифр после запятой». Бесконечно большие имеют «ненулевые цифры» в «старших разрядах».
С такими записями можно обращаться примерно так же, как обычные числа можно складывать, умножать и делить в столбик. Например, для обычных чисел справедливо равенство: 1 / 10 = 0.1. Точно так же для гипердействительных чисел единица, делённая на бесконечно большое (с «цифрой в старшем разряде»), даст бесконечно малое («с цифрой после запятой»).
На самом деле всё несколько сложнее, и подобное определение, данное «в лоб» может привести к парадоксам. Поэтому чтобы построить гипердействительные числа строго, нужна пара семестров математической логики и страшные слова вроде «ультрафильтр» и «теорема Лося» (нет, последнее не шутка). Но так или иначе, их строгое построение возможно.
Что случилось в Вегасе, остаётся в Вегасе.
Самое крутое в нестандартном анализе Робинсона — это принцип переноса. По сути он говорит, что если мы доказали в нестандартном анализе какое‑то утверждение, в формулировке которого не используются никакие «нестандартные» слова (ни про что не говорится, что оно бесконечно малое, бесконечно большое, принадлежит монаде и т. п.)‑ то это утверждение верно и в обычном математическом анализе. Нестандартности, использованные в процессе доказательства, не мешают получить корректный стандартный результат — можно как бы «забыть», что мы их использовали.
Однако чтобы обосновать принцип переноса, нужна ещё пара семестров математической логики. Робинсон использует аппарат теории моделей — строит гипердействительные числа как нестандартную модель действительных чисел, основанных не теории множеств ZFC. А затем, грубо говоря, заявляет — модели разные, но теория одна и та же. Если утверждение верно в одной из моделей, но не специфично для неё по формулировке — то оно верно не просто в модели, но в теории вообще.
Злая ветка: финал.
Итак, нестандартный анализ был создан и строго обоснован. Он прикольный, удобный, лаконичный. Казалось бы, сам Бог велел учить его в вузах вместо обычного матана.
Почему же этого не происходит?
В этом виновата совокупность факторов. Во‑первых, нестандартный анализ нестандартен. Непривычен. Пришлось бы целиком перестраивать уже отработанную учебную программу. А преподаватели матана — это обычно не юные бунтари, а зрелые консерваторы. Работает — не трогай.
Во‑вторых, преподавание «обычного» мат.анализа удобно строить по заветам Евклида — от аксиом к теоремам, от фундамента к вершинам. Обоснование же нестандартного анализа требует углубленных знаний в области мат. логики. Чтобы студент к концу первого семестра успел научиться дифференцировать, придётся слишком многое принять на веру.
Ну и наконец, язык эпсилон‑дельта — это своего рода «математическая муштра». Он вырабатывает привычку к сложным и строгим рассуждениям — привычку, которая математику рано или поздно обязательно понадобится, какими бы красивыми и мощными абстракциями он до этого ни пользовался.
Нельзя сказать, что нестандартный анализ оказался совсем бесполезен. С его помощью выводят некоторые отдельные результаты, которые было бы совсем громоздко получать классическим путём. Однако всемирной революции он так и не совершил. Поэтому математики, получившие «злую концовку», в итоге преуспели не намного сильнее, чем ультрафинитисты..
«Истинная концовка» в RPG — это всегда компромисс. Но не механический компромисс, когда дракон съедает полпринцессы, а рыцарь уносит оставшуюся половину. True ending — это компромисс нетривиальный, творческий, динамический. И вариантов такого компромисса оказалось много. В этой статье мы рассмотрим три из них.
Генцен: удар Гёделю исподтишка.
Гильберт никогда не формулировал в виде строгой теории, что конкретно он понимает под финитизмом. Но его последователи сходятся во мнении, что самая сильная теория, которую можно считать финитной — это примитивно‑рекурсивная арифметика (далее ПРА).Она более слабая, чем арифметика Пеано, и не позволяет формулировать утверждения о бесконечных множествах чисел, которые так смущали Гильберта. В ПРА любое утверждение равносильно некоторому вычислению, и сказать, что объект существует — то же самое, что построить его.
В 1936 году немецкий математик Герхард Генцен с помощью ПРА доказал непротиворечивость арифметики Пеано, осуществив тем самым мечту Гильберта о финитном обосновании математики. «Разве это не противоречит теореме Гёделя о неполноте?» — спросит внимательный читатель. И действительно, противоречило бы, если бы не одно «но»: Генцен слегка расширил ПРА, добавив туда… трансфинитную индукцию.
Да, вы не ослышались. Для «финитного» обоснования арифметики Генцен использовал ординальные числа Кантора. Причём не какую‑нибудь жалкую «первую бесконечность» ω, а сразу целый ε — первую бесконечность, которую нельзя выразить с помощью арифметических действий с ω. Возникает резонный вопрос: как ему хватило наглости называть такое доказательство финитным?
Генцен воспользовался хитрой, почти юридической уловкой. Даже если ординальные числа бесконечны, все счётные ординалы можно записать с помощью конечных последовательностей символов. Например, число ω — больше любого натурального числа, но его запись имеет длину в один символ. И Генцен с помощью ПРА производил вычисления не над ординальными числами, а над их записями.
Схема его доказательства была следующей:
Таким образом, мы приходим к противоречию и делаем вывод, что противоречивое утверждение в арифметике Пеано не может существовать.
На пункте 3 остановимся подробнее. поскольку это интересное свойство ординальных чисел. Казалось бы, например, раз ω — это бесконечность, то от единицы до ω можно считать бесконечно. А если так, то и обратный отсчёт будет бесконечным. Но на самом деле так не работает. По определению ω — это наименьший бесконечный ординал, и у него нет строго предыдущего, некоего бесконечного ω-1. Если мы начнём обратный отсчёт с ω, то следующим мы должны будем назвать какое‑нибудь конечное число N. А после этого мы максимум за N шагов досчитаем до нуля. С ординалами побольше, вроде ω², можно провести похожее рассуждение. Получается парадоксальная конструкция: бесконечная лестница, по которой вы всегда спуститесь за конечное количество шагов (хотя, возможно, некоторые шаги будут через бесконечное количество ступенек).
Возвращаясь к Генцену: как нетрудно предположить, математическое сообщество приняло его доказательство со смешанными чувствами. Кого‑то его аргументация убедила, кого‑то не очень. В итоге он как бы осуществил мечту Гильбета, но как бы и не совсем.
Крейзель: допрос бесконечности с пристрастием.
Как уже говорилось выше, математическая бесконечность — это странный, но парадоксально эффективный способ формулировать утверждения, которые потом применяются к нормальным конечным числам. Однажды австрийский математик Георг Крейзель задумался: а что, если в утверждениях, связанном с бесконечностью, на самом подразумевается нечто финитное, просто в странной формулировке? И он начал искать это нечто, названное им «финитным ядром». А точнее — стал искать способы искать это нечто.
Оказалось, что во многих случаях доказательство не‑финитного утверждения («во множестве натуральных чисел есть хотя бы одно такое, что…») можно преобразовать в доказательство финитного утверждения («среди первых N натуральных чисел есть хотя бы одно такое, что…»). И даже если доказательство использует всякую неконструктивную муру типа аксиомы выбора, с помощью этого преобразования можно вытянуть из него конкретную численную оценку.
Так Крейзель стал основоположником направления, которое сейчас называется proof mining.
Математики‑идеалисты протестуют против методов Крейзеля.
В каком‑то смысле он пришёл к тому, чего хотел достичь Есенин‑Вольпин — только с другой стороны. Вместо того, чтобы создавать новую математику, основанную на крайнем скепсисе, он научился с помощью скепсиса выбивать из старой математики проверяемые, вычислимые признания.
Фридман: вывернуть бесконечность наизнанку.
Традиционная математика идёт от аксиом к теоремам. Никто не начинает с теоремы и не придумывает аксиомы, при которых она верна. По крайней мере, никто так не делал до 1974 года. В том году американский математик Харви Фридман выступил с докладом, который положил начало так называемой «реверсивной математике».
Фридман и его последователи стали анализировать различные классические теоремы, без которых современный математик не может (или не хочет) представить себе жизни. Для каждой из этих теорем они ставили вопрос: в какой максимально слабой математической теории можно доказать эту теорему? Оказалось, что далеко не везде нужна арифметика Пеано. Часто можно обойтись намного более слабыми арифметиками, такими как арифметика элементарных функций (EFA).
Фридману принадлежит так называемая «великая гипотеза Фридмана»: почти все утверждения о конечных объектах, которые представляют реальный интерес для людей, можно доказать в очень слабых арифметиках вроде EFA. Оговорка «представляют реальный интерес» в этой гипотезе присутствует потому, что контрпримеры для неё легко построить искусственно. Однако если не пытаться быть адвокатом дьявола и сосредоточиться на реальных задачах, то окажется, что вся мощь арифметики Пеано нужна очень редко.
Реверсивная математика окончательно отвергает платоновский идеализм. Нет никаких «идеальных чисел», которые существуют где‑то в мире эйдосов независимо от того, что о них думают. Есть только соглашения между математиками и последствия этих соглашений.
С этой мыслью перекликается знаменитый, но сложный для понимания парадокс Сколема. Он основан на утверждении из теории моделей: если у теории есть бесконечная модель, то у неё есть счётная модель. Даже если в теории говорится о существовании континуума (бесконечного множества, которое больше, чем множество натуральных чисел), то модель этой теории всё равно можно построить на натуральных числах, и континуум окажется подмножеством натуральных чисел. Его элементы нельзя будет пересчитать изнутри модели, поскольку она будет построена так, чтобы запретить этот пересчёт. Однако снаружи «континуум» окажется счётным.
В каком‑то смысле парадокс Сколема говорит о том, что бесконечность относительна. То, насколько она бесконечна — вопрос призмы, через которую мы на неё смотрим.
The true ending is no ending.
Если история математики что‑то и предсказывает, то только то, что историю математики невозможно предсказать — её можно лишь творить. Бесконечность — это чудотворный парадокс, лежащий в основании математики. Бессмысленная, контринтуитивная, ненужная — и при этом бесконечно плодотворная. Каждый раз, когда бесконечность ставила математиков в тупик, математике это шло лишь на пользу. Ведь когда у тебя пытливый ум, тупик — это не ответ, а вопрос с миллионом ответов. Вопрос, который можно решать в обход или напролом, игнорируя, выворачивая на изнанку, поднимаясь на мета‑уровень, или ещё каким‑то способом, который в 2025 году ещё не изобрели.
Судя по всему, история бесконечности закончится только вместе с историей человечества. А вот серия статей на этом заканчивается(да, KKKJ, я тебя надул!).
* * *
Ну вот и всё, я это сделал... Фух. Обязательно прочитайте весь пост, пожалуйста. В написание этих постов я вложил поистине ОГРОМНОЕ количество сил и времени. Всем спаибо за прочтение, пока.
-⛧Я уместил этот гигантский пост не то что в 50, а даже в 20 блоков. Хотя это было физически невозможно. Но кто такая ваша физика, когда есть Бесконечность? АХАХАХАХАХ!⛧-
На какой стороне вы?7
Всем привет. Я надеюсь вы прочитали прошлый пост, потому что без него вы не поймёте этот. Если ещё не прочитали, бегом читать. А если уже прочитали, то присаживайтесь поудобнее, собирайте свои мозги в одну кучу и начинайте. Приятного прочтения.
* * *
Во второй половине XIX века Георг Кантор при поддержке Ричарда Дедекинда стал развивать теорию, которая впоследствии получила название «наивная теория множеств». Почему наивная — обсудим позже, пока сосредоточимся на последнем слове в названии.
Множество — это самая абстрактная математическая структура, которая определяется как совокупность любых объектов. Можно говорить о множестве котиков, множестве читателей этой статьи или множестве простых чисел меньше 2025. Но, естественно, математику больше интересуют множества каких-то математических объектов.
Кажется, что множество не очень интересная штука. Однако оказалось, что на фундаменте теории множеств можно построить всю остальную математику. Например, можно определить натуральные числа, не используя ничего кроме множеств. Определим нуль как пустое множество ∅, не содержащее ни одного элемента. Затем каждое следующее число определим как множество, содержащее все предыдущие числа. Тогда единица будет { ∅ }, двойка — { ∅, { ∅ } }, тройка — { ∅, { ∅ }, { ∅, { ∅ } } } и так далее. Таким образом, весь натуральный ряд строится буквально из пустоты.
Математика давно нуждалась в прочном фундаменте. Если в геометрии со времён Евклида была стройная система понятий и аксиом, то в других областях математики царила та или иная степень анархии. Однако во всей этой истории с множествами был большой подвох. Когда мы говорим просто о натуральных числах, то имеем в виду их потенциальную бесконечность. Но если мы говорим о множестве натуральных чисел — это уже бесконечность актуальная. Все натуральные числа содержатся во множестве сразу, а не добавляются по необходимости. Поэтому теория множеств немедленно подверглась критике видных математиков своего времени, таких как Анри Пуанкаре и Леопольд Кронекер. Однако паровоз прогресса было уже не остановить.
Самым удивительным открытием Кантора было то, что некоторые бесконечности бесконечнее других. А именно — что множество действительных чисел больше, чем множество натуральных.
Сперва этот факт может показаться не особенно удивительным. Разумеется, действительных чисел больше, ведь они включают в себя натуральные. Однако вспомним парадокс Галилея: множество натуральных чисел включает в себя множество точных квадратов, но при этом каждому натуральному числу соответствует его квадрат, то есть их одинаковое количество. Открытие Кантора состоит в том, что натуральных чисел меньшее количество, чем действительных. Иначе говоря — не существует способа пересчитать действительные числа. Даже если мы возьмём бесконечную последовательность действительных чисел, в ней будет содержаться лишь бесконечно малая часть от всего множества действительных чисел.
Более того, Кантор показал, что для любой бесконечности можно построить бесконечность ещё больше. Для любого множества можно взять множество всех его подмножеств (так называемое супермножество). Кантор показал, что супермножество всегда больше, чем исходное множество. Если исходное множество бесконечно, то супермножество более бесконечно. Таким образом, существует бесконечное множество разных бесконечностей.
Кстати, помните, как в начале первой статьи мы говорили про Упанишады и про то, что древние индусы выделяли несколько видов бесконечностей? Получается, они опередили своё время на две с половиной тысячи лет.
Для описания размеров бесконечных множеств Кантор придумал специальные кардинальные числа. Самой маленькой бесконечности, количеству натуральных чисел, соответствует кардинальное число ℵ₀ (алеф-нуль), бесконечности действительных чисел — кардинальное число ℵ₁ (алеф-один), и так далее. В каком-то смысле кардинальные числа являются продолжением натурального ряда — ведь натуральные числа тоже описывают размеры множеств, просто эти множества конечны.
Так бесконечность действительно стала числом, да ещё и не одним.
∞ + 1 ≠ ∞
Чтобы окончательно довести до паники математиков своего времени, Кантор придумал не один вид бесконечных чисел, а целых два. Второй вид называется ординальные (переводя на русский — порядковые) числа. Идея Кантора заключалась в следующем: натуральные числа можно использовать как для указания количества (семь яблок), так и порядка (седьмое по счёту яблоко). Кардинальные числа указывают количество, но не порядок. ℵ₀ — это «бесконечность», но не «бесконечностный по счёту». С помощью кардинальных чисел можно указать количество действительных чисел, но не пересчитать их все. А значит, надо было придумать ещё один вид чисел.
Математическая теория, стоящая за ординальными числами, достаточно сложна, но если на пальцах: вспомним, как мы конструировали натуральные числа из пустоты. Каждому числу соответствовало множество, содержащее все предыдущие числа. А если взять множество, содержащее все натуральные числа — какое число тогда получится? Кантор подумал и решил — пусть это будет ординальное число ω, оно же — самая маленькая ординальная бесконечность.
Что будет, если взять множество, состоящее из всех натуральных чисел и ещё ω? Будет ординальное число ω + 1, и оно не равно ω. Как это показать? Множества, которые соответствуют этим числам, хоть и имеют одинаковый размер (им обоим соответствует кардинальное число ℵ₀), но при этом не одинаковы. Во множестве, которое соответствует ординальному числу ω + 1, есть особый элемент ω, который больше всех остальных (т. е. включает в себя любой другой элемент из этого множества). Во множестве натуральных чисел такого элемента нет — какое бы натуральное число мы ни выбрали, всегда найдётся число побольше.
Читателю на заметку: если вы играете в игру «кто назовёт самое большое число» и уже дошли до бесконечности, дальше нужно сразу определиться, будете вы играть в кардинальные или в ординальные числа. В первом случае после бесконечности нельзя назвать бесконечность плюс один, ведь это то же самое число. А во втором случае числа разные.
Вообще ординальные числа устроены очень увлекательно. После того, как в первый раз досчитал до бесконечности, можно досчитать до неё второй раз и получить ординальное число 2ω. Если досчитать до бесконечности ещё раз, то дойдёшь до числа 3ω. А досчитав до бесконечности бесконечное число раз, получишь ординальное число ω². Спустя бесконечность бесконечностей бесконечностей будет ω³, а если во фразе «спустя бесконечность бесконечностей бесконечностей бесконечностей…» дописать слово «бесконечностей» бесконечное число раз, то можно дойти и до ординального числа «ω в степени ω».
Впрочем, и это ещё не предел. Дальше лежат ординальные числа «ω в степени ω в степени ω», «ω в степени ω в степени ω в степени ω» и так далее. За ними — ординальное число ε, которое больше, чем любое число предыдущего вида. Если аналогичным образом поступить с числом ε, получится число ε₁, если сделать так же с ним — будет ε₂ и так далее. На эпсилонах история не заканчивается, дальше идут ординальные числа, конструируемые ещё более изощрёнными способами. И лишь спустя бесконечное число разновидностей бесконечности, так далеко, что это не могут представить даже самые выдающиеся математики, идёт ординальное число ω₁ — первый несчётный ординал, который в пересчёте на кардиналы больше, чем ℵ₀. Вот так между двумя скучными кардинальными числами умещается целая вселенная из ординальных.
Почти наверняка у читателя при виде всех этих сложностей возник простой вопрос: а зачем? Дело в том, что для ординальных чисел работает принцип математической индукции. Если некое утверждение верно для нуля, и если из того, что это утверждение верно для всех ординалов меньше N, следует, что оно верно для N — значит, оно верно для всех ординалов. Не для какого-то жалкого бесконечного числа натуральных чисел, а прям для всех бесконечных бесконечностей бесконечностей. С помощью индукции для ординальных чисел (также называемой трансфинитной индукцией) можно доказывать теоремы даже для очень больших бесконечных множеств, пронумеровав их элементы ординалами.
Основная причина, по которой наивная теория множеств называлась наивной — это то, что она позволяла конструировать множества по произвольному принципу. Оказалось, что это ведёт к большому числу парадоксов.
Самый каноничный пример: возьмём множество абсолютно всех множеств. Тогда оно в том числе будет содержать и все свои подмножества — то есть являться собственным супермножеством. Однако, как доказал Кантор, супермножество должно быть всегда больше исходного множества. Этот парадокс называется парадоксом Кантора.
Или другой пример: возьмём множество всех ординальных чисел. Тогда оно само должно соответствовать ординальному числу. Но это число должно быть больше всех ординальных чисел из множества, и, следовательно, не входит во множество всех ординальных чисел. Это парадокс Бурали-Форти.
Третий пример. Рассмотрим множество, состоящее из всех множеств, которые не содержат сами себя. Будет ли это множество содержать само себя? И ответ да, и ответ нет ведут к противоречию. Это парадокс Рассела.
Казалось бы, теория с таким количеством парадоксов должна немедленно отправиться на помойку. Но, как и в случае с методом Кавальери, инструмент был слишком удобен, чтобы от него отказываться. Поэтому математики стали «фиксить баги» — вводить ограничения, запрещающие конструировать «парадоксальные» множества. Например, ввели аксиому фундирования, которая требует, чтобы у последовательности множеств, где каждое следующее является элементом предыдущего, обязательно был конец. Аксиома фундирования исключает парадоксы Кантора и Рассела (но не парадокс Бурали-Форти, с ним пришлось бороться иначе).
При этом математики не отказались в принципе рассматривать «парадоксальные совокупности» — они просто перестали считать их множествами и стали называть классами. Таким образом можно говорить, допустим, о классе всех ординальных чисел. Современная математика ничего не говорит о количествах элементов таких классов, но если бы говорила — это было бы что-то настолько большое, что его даже нельзя назвать бесконечностью.
В современной аксиоматической теории множеств особое место занимает так называемая аксиома выбора. Она гласит следующее: если у нас есть семейство множеств, то существует новое множество, которое содержит по одному элементу из каждого множества семейства. Допустим, если наше семейство множеств — {1, 2}, {3, 4} и {5, 6}, то можно сконструировать множество {1, 3, 5}, содержащее по одному элементу из каждого. Впрочем, для конечного семейства конечных множеств аксиома выбора не требуется. Она нужна для бесконечных семейств «сложных» множеств, в которых не всегда можно явно указать на какой-то конкретный элемент.
На первый взгляд аксиома выбора кажется абсолютно очевидной. Однако Рассел (тот, у которого парадокс) писал о ней так: «Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под конец же вообще перестаешь понимать, что же она означает».
У аксиомы выбора есть два неприятных свойства. Во-первых, из неё следует всякая дичь. Например, знаменитый парадокс Банаха-Тарского: можно разрезать шар на конечное число кусков, из которых потом можно собрать два точно таких же шара. На самом деле, вопреки названию, парадокс Банаха-Тарского не является парадоксом: поскольку куски, на которые режется шар, имеют очень «плохую» форму, на них не распространяется закон сохранения объёма (для них вообще не определено понятие объёма). Но и принять это утверждение на полном серьёзе готов далеко не каждый математик.
Во-вторых, результаты, получаемые с помощью аксиомы выбора, неконструктивны. С её помощью можно доказать существование, но невозможно привести конкретный пример. Точнее, когда можно привести конкретный пример, тогда аксиома выбора не нужна. В том же парадоксе Банаха-Тарского нельзя сконструировать конкретное разрезание, можно только сказать, что оно есть. Разумеется, это тоже звучит не очень воодушевляюще.
Однако отказываться от аксиомы выбора тоже идея так себе. Без неё рассыпаются многие конструкции в теории множеств — например, на аксиому выбора неявно опирается построение ординальных чисел. В итоге аксиома имеет некий полулегальный статус: математики пользуются ей при необходимости, но всегда специально оговаривают её использование. Считается, что доказательства с аксиомой выбора имеют «иную познавательную ценность», нежели доказательства без неё.
Кардинальные числа, конечно, скучноваты по сравнению с ординалами, но есть у них и свои приколы. Самый известный из них — так называемая континуум-гипотеза. Верно ли, что не бывает множества, которое больше, чем множество натуральных чисел, но меньше, чем множество действительных чисел? Иначе говоря — верно ли, что за ℵ₀ сразу следует ℵ₁? Этот вопрос сформулировал Кантор в 1877 году, но ответ был найден лишь почти через век, в 1963-м. Суть этого ответа можно описать следующим анекдотом:
— Моня, а сколько будет дважды два?
— А мы таки покупаем или продаем?
Если без шуток — в общепринятой аксиоматике теории множеств континуум-гипотезу невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Можно взять в качестве новой аксиомы утверждение, что между ℵ₀ и ℵ₁ нет других кардиналов. Или альтернативно можно взять другую аксиому — что между ℵ₀ и ℵ₁ есть ещё ровно один кардинал алеф-полтора. Или ещё два кардинала. Или любое конечное количество (но вот бесконечное уже нельзя). Любая из этих аксиом прекрасно согласуется с остальной математикой.
Помимо простой континуум-гипотезы, есть также обобщённая континуум-гипотеза. Она гласит, что не только между ℵ₀ и ℵ₁, но и между любыми двумя соседними алефами нет промежуточных кардиналов. Интересный момент: обобщённая континуум-гипотеза также независима от аксиом теории множеств, но если принять её саму за аксиому, то аксиому выбора можно будет вывести как теорему.
Несмотря на все свои парадоксы, теория множеств внушала большой оптимизм математикам начала XX века. Строгий готический собор математики на незыблемом фундаменте аксиоматической теории множеств — это ли не мечта? В начале 1920-х Давид Гильберт сформулировал свою знаменитую программу, предполагавшую полную аксиоматизацию всей математики. Казалось, что скоро всё станет хорошо, можно будет забыть о парадоксах и философских спорах и просто собирать теоремы из аксиом, как конструктор Lego. Реальность, однако, внесла свои коррективы.
В 1931 году молодой математик Курт Гёдель опубликовал две так называемых теоремы о неполноте. Первая гласила, что в любой достаточно сложной теории существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть средствами этой теории. Вторая утверждала ещё более неприятную вещь: если достаточно сложная теория непротиворечива, то в ней невозможно доказать её собственную непротиворечивость. Что такое «достаточно сложная теория» — простыми словами объяснить трудно, но если вкратце, то все теории, которыми реально пользуются математики, достаточно сложные.
В сумме эти две теоремы означали, что программа Гильберта неосуществима. Никогда нельзя быть уверенным, не содержит ли теория парадоксов, пока не придумаешь более мощную теорию — а тогда будет непонятно, нет ли парадоксов уже в ней. А выдвинув гипотезу, всегда можно ожидать, что она, как континуум-гипотеза, окажется и недоказуема, и неопровержима. И придётся отложить конструктор Lego и опять лезть в основания математики, как советскому автолюбителю под ржавые Жигули.
Почему мы обсуждаем теоремы Гёделя в статье про бесконечность? А потому, что доказательство Гёделя было концептуально похоже на доказательство Кантором того факта, что действительных чисел больше, чем натуральных. Используя хитрую технику, известную теперь как Гёделевская нумерация, Гёдель показал, что в достаточно сложной теории множество доказуемых утверждений попросту меньше, чем множество верных утверждений. И так же, как нельзя пронумеровать действительные числа, нельзя и «продоказывать» верные утверждения. Так бесконечность нанесла свой самый подлый и сокрушительный удар математике.
Впрочем, сейчас уже двадцать первый век, и можно с уверенностью сказать, что математика пережила удар. Конечно, пришлось принять тот факт, что всё никогда не будет просто, что за любым углом может поджидать парадокс или недоказуемая теорема. Но люди, которые пасуют перед сложностями, не идут в математики.
На Гёделе история бесконечности не заканчивается, а вот эта часть статьи, к сожалению, подходит к концу. Хотелось бы верить, что читать её было бесконечно интересно.
* * *
Ну вот на сегодня и всё. Создавать эту статью было гораздо сложнее чем предыдущую потому что информации было в разы меньше. Но я справился. Всем спасибо за прочтение, пока!
Я опять уместил этот пост в 50 блоков... Да я чёртов гнений!
Кем вы стали после прочтения этого поста?6
