Посты по тегу Математика

А что если бы?

Сразу стоит сказать, что человек не придумал, а скорее открыл число π. Нельзя просто менять мировую константу и смотреть, что будет. Это невозможно в полном смысле этого слова. Но всё же, а что если бы?

* * *

Всё не так просто

На самом деле никто не знает наверняка, что станет миром, если число π измениться. По сути число π - это в первую очередь отношение длины окружности к диаметру. А значит надо как-то играться именно с этими параметрами. Проще говоря, нам нужно представить ситуацию при которой длина окружности в 2 раза больше диаметра. Это сложно, но вроде бы даже возможно.

Идея #1

По школьному определению(если мне не изменяет память), окружность - это совокупность бесконечного количества точек равноудаленных от центра. А теперь совсем чуть-чуть изменим правила. Менять правило равноудаленности я считаю не корректно и до банальности скучно. А вот бесконечное количество поменять на конечное... Да. Конечное это будет не совсем окружность, но на это и расчет. В общем, мы просто чертим из центра несколько радиусов и соединяем их дугой, но с меньшей амплитудой. Длина окружности уменьшена, радиус остался тот же. Как итог - π уменьшится.

По моим расчетам, при R=1, если сторона треугольника прямая, то она будет равна 1.73. Соответственно периметр будет 5.2. Радиус единица, значит диаметр равен двум, значит π = 5.2/2=2.6. Если учитывать, что сторона не прямая, а дугообразная, то и того больше. У квадрата примерно 2.8. Чем больше радиусов тем ближе к числу π. Конечно, можно взять мою любимую фигуру - двухугольник и сделать π хоть единицей, но смысла от такого подхода мне найти так и не удалось.

Идея #2

Вторая идея куда проще и понятнее. Буквально вырезать небольшую часть окружности, а если конкретнее то примерно 37%. Тогда радиус не измениться, а длина окружности уменьшится, а это как раз таки именно то, чего мы добивались. Почему именно 37%? Потому что нам надо чтобы π стало 2, тогда нужно отнять от него 1,14. А это как раз 37%.

Идея #3

Теперь перейдём к более реалистичным вариантам. И пожалуй, это даже вполне возможный исход. Все мы знаем что пространство может меняться под действием тяжелых тел. Если представить ситуацию, при которой пространство искривиться таким образом, что радиус станет больше(растянется), а длина окружности наоборот, либо не изменится, либо увеличиться, то мы получим совершенно новое значение числа π. Как этого достичь? Для простОты представим двухмерную плоскость, на которой находиться окружность. Теперь мы кладём в её центр сверхмассивный тор с радиусом равным половине длины окружности. Под массой тора пространство прогибается, вследствие чего радиус начинает проходить больший путь до края окружности, но всё ещё идёт по прямой. По сути всё. Метод рабочий, я проверил.

сори, более ровной картинки не существует, но для понимания самое пойдёт.

Идея #4

А что если я вам скажу, что уже существует система, которая используется для решениях некоторых задач в том числе и реальных, и в которой число π не равно 3,14? А что если мы живём в такой системе? Начнем с азов. Существует такая система, как манхэттенская геометрия. Её суть заключается в том, что мир - сетка, если так можно выразиться. Проще представить шахматную доску, а на ней ладья которая ходит только на 1 клетку. Следуя логике, ход по диагонали требует два хода.

Материалы были украдены с Википедии

Теперь представим окружность в такой системе. Возвращаясь к школе, нам нужно поставить бесконечное количество равноудалённых от центра точек. То есть берем некоторый центр, пусть будет 0;0. Теперь находим все точки, у которых расстояние до центра будет, ну например 5. Соединяем их и получаем окружность. Теперь полученная фигура может называться окружностью, ведь это совокупность всех возможных точек равноудалённых от центра. Но как же эта фигура будет выглядеть? А вот так:

Не похоже на окружность, да? Но это окружность в полном геометрическом смысле. Радиус равен 5, как мы и сказали ранее. Диаметр 10. А вот длина окружности будет равна 40. Это можно как понять, так и посчитать вручную. Длину окружности делим на диаметр получаем 40/10=4. Четыре это, конечно, не два, но получается, что число π равно 4. Забавно. А теперь самый сок. По сути вся эта манхэттенская геометрия строится на двух правилах - есть какое-то минимальное расстояние, меньше которого пройти нельзя, и идти можно только в одном из направлении координатных осей(нет диагоналей). В нашем мире тоже есть минимальное расстояние, которое можно теоретически пройти - планковская длина. Человечество до сих пор не знает как именно она устроена и какую форму имеет. Может клетку, может гексагон, а может вообще что-то произвольное, невообразимое. Но если вдруг окажется, что это сетка, то всё становится куда интересней.
 

* * *

Заключение

Честно говоря, я так и не нашёл мир, где π = 2 выглядело бы по-настоящему естественно. И знаете что? Это, пожалуй, лучший ответ. Так что давайте ценить то, что имеем: π = 3,14, колёса крутятся, планеты вертятся, Вселенная не разваливается. Если у кого-то в комментариях появится ещё идеи, как это можно представить, то скатертью дорожка!

مرحبا شباب, هل تعلم أننا جميعا نعيش في "ماتريكس" ومعظمنا مجرد شخصيات غير لاعب? نعم ، هذا صحيح ، لكن لا أحد يصدقني. لدي دليل ، لكن على أي حال ، اللعنة ، لا أحد يصدقك ، ولن أتخلص منهم ، ستطلق عليه هراء ، حسنا

Всех математически приветствую!

Сегодня я подумал...(ничё се, я думаю!), и понял, что в мире слишком много нерешаемых задач. 
Или... Почти нерешаемых? Сегодня я вам покажу решение трёх самых трудных задач в мире! 

Присаживайтесь поудобнее, я начинаю...

№3 - "Задача о кубиках"

Условие: первый кубик расположен в 562 метрах обычной ходьбы от игрушечного кораблика. Кораблик может доплыть от первого до второго кубика за время, которое требуется на обработку файла фотки шаурмы в музыку. Но чтобы доставить второй кубик к первому, придётся нести его по суше. Вес кубика равен температуре горения воды. 
Вопрос: За какое время кубики будут в одном месте?

Это наипростейшая задача! Вот Решение: Для начала умножаем количество кубиков на сумму квадратного корня шаурмы и Куба мегабайт музыкальной памяти. После берём расстояние 562 метра, умножаем на получившееся число, и домножаем на скорость курьера Аджик-Мембек-Тур мекбека. 

Получаем ответ... 1 час 23 минуты 45 секунд

№2 - "Задача трёх слоников"

Условие: Первый слоник сказал "БУГАГА" в 15:06:34. Второй слоник, находясь на расстоянии 2 километра, услышал это сообщение, обработал его в метричной системе измерения, и выкрикнул его в Диктофон своего Поко-Чоко-Супер-Ультра-Дупер-Мега-СиДзиньПин-телефона. После недолгой загрузки сообщение дошло до третьего слоника. Он стоял сколько секунд, он слышал отправленное ему сообщение.

Вопрос: в какое время третий слоник перестал стоять?

Это довольно известная задача, над которой трудились многие умы. Лишь немногие смогли её решить, но никто не давал решение в открытый доступ, хотя оно не такое уж сложное. 

Итак, Решение: для начала рассчитываем угол наклона скорости звука в 2 километра от первого до второго слоника. Теперь, когда мы вычислили время, нам нужно посчитать сообщение "БУГАГА" в метричной системе исчисления, используя при этом градусы Фаренгейта. Далее считаем, сколько будет идти сообщение с Поко-Чоко-Супер-Ультра-Дупер-Мега-СиДзиньПин-телефона до третьего слоника, и, высчитав секунды стояния слоника, складываем все получившиеся значения!

Ответ: 15:52:67

Ииииии самая наисложнейшая задача всех времён! №1 - "Задача теоремы Штанов Пифагора"

И вот мы подошли к самой нерешаемой задачке! 
Условие: Пифагоровы штаны были сшиты ровно на размер Пифагора. Но при вышивке, в длине портной ошибся на три оливки и два доллара.
Вопрос: Какого размера его штаны?

Решение: Первым делом изобретаем малину времени, отправляемся в прошлое, измеряем Пифагора, берём мерки, вычитаем по теореме Вьюги Павловны три оливки и переводим доллары в дробную форму белорусских каратов.

Ответ: 36,7×48,9 см

* * *

Итак, мы решили 3 самые трудные задачи в мире, и вы бы не обошлись без моего мозга в 500 IQ! Чтож, на этом у меня всё. Надеюсь вам понравилось читать мои решения к наисложнейшим задачам.

Всего наиумнейшего!

1. Масса поезда. Грузовой состав может весить от 3000 до 6000 тонн. Возьмём для примера средний вес в 5000 тонн (5 000 000 кг).
2. Сила тяги морской свинки. Взрослое животное весит около 1 кг. В лабораторных экспериментах мелкие грызуны могут тянуть груз, превышающий их собственный вес в несколько раз, но для длительного перемещения по ровной поверхности реалистичным пределом считается усилие, равное их весу (около 10 Ньютонов). Будем считать, что одна свинка может тянуть с силой в 1 кгс (килограмм-сила).
3. Сила трения. Чтобы сдвинуть состав с места, нужно преодолеть силу трения покоя. Коэффициент трения стали по стали (колёса по рельсам) очень мал — около 0,001–0,002.

Расчёт:

• Сила трения поезда: 5000000 кг ×9,8 м/с(квадратных) ×0,0015≈73500 Н.
• Сила одной свинки: 1 кг×9,8 м/с≈10 Н.
• Количество свинок: 73500/10=7350.

Таким образом, чтобы просто сдвинуть с места тяжёлый грузовой поезд по рельсам (в идеальных условиях, без уклонов и с идеальной упряжью), потребуется около 7–8 тысяч морских свинок.

Если же речь идёт о том, чтобы тащить поезд по обычной земле (например, по полю), то сила трения будет в десятки раз выше, и тогда количество животных возрастёт до сотен тысяч. А если учитывать усталость животных и необходимость их сменять, то для реального перемещения поезда на любое значимое расстояние потребуется целая армия из нескольких сотен тысяч особей.

Внимание: автор перечитал математических статей и забыл принять галоперидол, прошу не кидать в него едой(только если пловом).

Всем привет. Как мы знаем, существует такая система как политические координаты. Она была создана вместо классического деления право — лево и была невероятно эффективной и понятной в своё время... Но лишь была, ведь как оказалось она далеко не самая лучшая и имеет большое количество погрешностей. Точнее сама система-то хорошая, но её используют от слова совсем не правильно. А кто знает как правильно? Конечно же я! Ведь я перед тем как копировать свои статьи про бесконечность, я их успел прочитать и даже что-то понял(я же не KKKJ). Так что представляю вашему вниманию мою собственную математическую модель политических кооридантов!

Классические политические координаты.

История политических координатов.

Как известно, политические координаты были придуманы Л. Ф. Ричардсоном в 1919 году. До это пользовались системой право — лево, которая разделяла людей на левых(республиканцы, либералы, прогрессивисты) и правых(монархисты, консерваторы, автократы). Эта система позже была развита другими авторами и была довольно прорывной для своего времени. Ведь она разделяла две оси: экономическую(ось x) и политическую(ось y). Это позволяло комбинировать их и создавать огромное количество разных политических идеологий. Чем ниже человек на этих координатах — тем больше он поддерживает свободу, чем выше — порядок и контроль, чем левее — тем сильнее поддерживает плановую экономику и равенство, чем правее — тем рыночную экономику и неравенство. 

И раньше всё работало просто прекрасно: четыре квадрата определяли примерные взгляды, а положение на них уточняло идеологию. Но на этих координатах учитывались только два параметра, поэтому по точке на политических координатах нельзя было сказать например отношение человека к миграции или религии. И чтобы это убрать, люди вернулись к тому чему начинали: классической модели право — лево. Ультраправый стало синонимом национализма и тоталитаризма(например Гитлера до сих пор многие считают ультраправым), а всех ультралевых начали считать анархистами. Это лишило политкоординаты того, почему они вообще появились: отсутствия ярлыков и точности.

◥ ▬▬▬▬▬▬ ◆ ▬▬▬▬▬▬ ◤

Часть 1. Что я вообще предлагаю?

Так как есть проблема, то её надо решить, хотя куда лучше конечно же на неё забить. Поэтому я создал свою систему. В ней шкала право — лево отвечает ТОЛЬКО за отношение в распределении ресурсов, то есть к экономике. Поэтому ультраправые — это те кто отрицает любое регулирование рынка, а не ультранационалисты. Также я помимо классических координат добавил ещё несколько политических осей, которые представлены отдельно и никак не влияют друг на друга(можно быть реакционером, но против религии). Я вывел 10 основных осей, которые определяют политические взгляды:

• Экономическая ось X: равенство — неравенство
• Политическая ось Y: тоталитаризм — анархия, порядок — свобода
• Национальный вопрос: ультранационализм — космополитизм
• Прогрессивизм: реакция — ультрапрогрессивизм
• Милитаризм: ультрамилитаризм — ультрапацифизм
• Секуляризм: секуляризм — религиозность
• Централизация власти: унитаризм — федерализм
• Интеграция культур: ассимиляция - мультикультурализм
• Режим власти: демократия — автократия
• Глобализм: глобализм - изолцияонист

Пример деления по экономической оси. Повторяю, пример.

Таким образом 10 независимых осей оказывается достаточно чтобы определить политическую идеологию. А для более точного анализа существуют манифесты отдельных идеологий и партиц, в которых всё чётко прописано. Многие могут сказать что это чистой воды прагигат тестов по типу 8Values, но это не так. Во-первых у меня куда больше осей, что сильно повышает точность, а во-вторых даже в 8Values есть ярлыки и стереотипы(достаточно просто пройти этот тест, чтобы понять что и он не совершенен). Моя же система позволяет её масштабировать(10 осей — необязательное количество), плюс более точное определение. 

Другое дело как определять насколько в ту или иную сторону сдвигается ось у конкретного человека. Но это уже задача второй главы(да, я настолько ленивый что переуладываю работу на главы что в не делать её самому, и что вы мне сделаете). Сейчас же речь пойдёт о реальных примерах. Я решил взять Адольфа Гитлера как противоречивую фигуру и самого себя. Начнём. 

Адольф Гитлер. Правый, тоталитарный, ультранационалистический, консервативный, ультрамилитаристский, нейтральный, ультраунитарный, ассимиляционистский, ультраавтократичный, глобалистский. Правоцентристом по экономике я его назвал из-за того что он с одной стороны действовал в интересах крупного капитала, поддерживал неравенство и провёл маштабную приватизацию, а с другой рынок при нём не был свободный и любую компанию могли национализировать щелчком пальцев. И да, я решил что к любому прилагательному можно прибавить -ультра и оно всё равно будет читаемым)))

Не Топлес(вообще хз кто это). Левый, авторитарный, националистический, консервативный, милитаристский, секуляристический, нейтральный, мультикультуруалистический(как это прочитать...), нейтральный, нейтральный. Думаю тут ничего не понятно, но это не беда, ведь мои политические взгляды мало кому интересны(кроме самый отчаянных шизофреников).

◥ ▬▬▬▬▬▬ ◆ ▬▬▬▬▬▬ ◤

Вот мы и перешли к любимой части KKKJ(надеюсь что вы правда прочитали всё что написано наверху, а не просто промотали). Это будет гораздо сложнее для понимания, особенно если вы не читали великую статью про Бесконечность или прогуливали уроки алгебры(или вообще ещё не ходили в школу, как Владлен). Так что перед прочтением советую собрать все мозги(если они у вас конечно есть) в одну кучу и напрячь их. Неудачи!

Часть 2. Математика.

Обычно в результатах теста на политические координаты вам выдают просто точку на картинке или какие-то непонятные цифры. Так вот, этот подход в корне неверен(да, я считаю что умнее кучи политологов, и что вы мне скажите?). По одной дофига сложной простой причине: есть бесконечно большое количество десятичных дробей, и их в бесконечное количество раз больше чем целых. Если вы не понимаете о чём я говорю - сочувствую, вы явно не читали мои посты. Для вас объясняю: если число рациональное(как раз к таким числам относятся десятичные дроби), то можно бесконечно добавлять числа после запятой. Например есть 3,5 и можно продолжить 3,56738526 и так до бесконечности. И бесконечность из таких чисел бесконечно больше чем бесконечность из обычных, ведь в обычной мы хотя бы можем найти начало. А тут что является началом? 0,1? 0,0000000001? Начало стремиться к нулю, и поэтому его невозможно найти. Поэтому этот тип бесконечностей относится к несчётным.

Именно из-за этого центристов не существует. Потому что истинные центристы на политических координатах - это те кто в точке 0. Вероятность оказаться в какой-то конкретной точке стремиться к нулю(с.м. тест выше), и именно поэтому Владлен не является центристом. Ведь точек бесконечное количество(причём несчётное) и вероятность попасть в конкретную точку(в нашем случае - 0) стремиться к нулю. Вместо этого я ввёл термин неоцентрист, который является уже не точкой, а совокупностью точек, отрезком. В этом отрезке будет бесконечное количество точек, но он будет ограничен.

Примерное отображение этой модели.

Получается что ось(например X, экономическая) состоит из бесконечного количества точек(координат), которые являются рациональными числами. Эти координаты могут объединяться для более удобной группировки. С вероятностью 100% невозможно вычислить координату какого-либо человека, ведь она с вероятностью 99,(9)% окажется бесконечной. Для этого можно задать границы оси от -100 до 100, а затем высчитывать примерные координаты. Отображать их можно в виде отрезка(на одной оси) или окружности(как наиболее идеальную фигуру, на двух осях вместе). Пример выше, с неоцентристами. Чем точнее определяется позиция(то есть чем больше мы узнаем знаков после запятой) — тем меньше радиус круга и тем больше вопросов в тесте нужно. 

Для людей с IQ меньше 1000 объясняю: твоё точное положение на политических координатах неизвестно, ведь для этого нужно узнать бесконечное количество знаком после запятой. Поэтому оно будет примерным, в виде маленькой окружности. Чем точнее хочешь узнать —  тем больше вопросов нужно тебе задать.

Пример. Окружность - твоя политическая позиция. Чем она меньше(то есть точнее), тем больше вопросов нужно задать.

Вот так вот. Кончено это всё сформулировано очень криво, но основной смысл передан(главное чтобы его не вернули обратно). И чтобы его не вернули, я напишу вам немного формул. Они уж точно отпугнут даже самых отъявленных математиков...

◥ ▬▬▬▬▬▬ ◆ ▬▬▬▬▬▬ ◤

1. Перевод ответов в координаты по оси

• Q — множество вопросов, влияющих на данную ось.
• Для каждого вопроса i из Q задан:a_i — ответ пользователя по шкале от -10 до +10 (где -10 — крайнее левое/низкое значение, +10 — крайнее правое/высокое).w_i — вес этого вопроса (например, от 0.5 до 2.0), отражающий его важность для данной оси.
• a_i — ответ пользователя по шкале от -10 до +10 (где -10 — крайнее левое/низкое значение, +10 — крайнее правое/высокое).
• w_i — вес этого вопроса (например, от 0.5 до 2.0), отражающий его важность для данной оси.

Формула для расчёта координаты C по оси:
C = ( sum_{i in Q} (a_i * w_i) ) / ( sum_{i in Q} w_i )
Результат автоматически будет лежать в пределах от -10 до +10 (так как a_i в этих пределах, а веса положительны).Затем мы масштабируем его до шкалы -100..+100, умножив на 10:  
C_scaled = C * 10

2. Расчёт погрешности(радиуса неопределённости) для одной оси.

Погрешность возникает из-за того, что ответы пользователя на разные вопросы по одной оси могут противоречить друг другу, а также из-за ограниченного числа вопросов. Стандартное отклонение ответов по оси:
sigma = sqrt( ( sum_{i in Q} ( (a_i * w_i) - mean_w )^2 ) / ( sum_{i in Q} w_i ) )
Где mean_w — средневзвешенное значение, равное C (из формулы выше). Однако проще вычислить sigma по невзвешенным ответам, если веса не сильно различаются. Для простоты можно использовать невзвешенное стандартное отклонение:
sigma = sqrt( (1 / N) * sum_{i=1..N} (a_i - C_avg)^2 )
Где N — количество вопросов по оси, а C_avg — обычное среднее арифметическое (без весов). Но для точности я рекомендую взвешенный вариант, если веса используются.
Радиус неопределённости R (для доверительного интервала) вычисляется как:
R = sigma / sqrt(N)
Где N — число вопросов, влияющих на данную ось.Чем больше вопросов, тем меньше радиус. Чем больше разброс ответов (sigma), тем больше радиус. Если хочется добавить коэффициент надёжности (например, 95% доверительный интервал), можно умножить на 1.96:
R_95 = 1.96 * sigma / sqrt(N)

3. Итоговое представление позиции по одной оси.

Каждая ось описывается не точкой, а отрезком:
[ C_scaled - R_scaled ; C_scaled + R_scaled ]
Где R_scaled = R * 10 (потому что мы масштабировали координату).Таким образом, реальная позиция человека по оси лежит где-то внутри этого отрезка с некоторой вероятностью (если распределение нормальное, то около 68% для R без коэффициента).  

4. Многомерное обобщение(для всех 10 осей).

Пусть у нас M осей. Для каждой оси j мы имеем: Центр C_j (в шкале -100..+100) и Радиус R_j
Тогда политическая позиция человека — это гипершар в M-мерном пространстве с центром в точке (C_1, C_2, ..., C_M) и радиусом, который определяется таким образом:
R_global = sqrt( R_1^2 + R_2^2 + ... + R_M^2 )

5. Сравнение двух людей.

Пусть у человека A координаты центров (A_1, ..., A_M) и глобальный радиус R_A, а у человека B — (B_1, ..., B_M) и R_B. Евклидово расстояние между центрами:
D = sqrt( sum_{j=1..M} (A_j - B_j)^2 )
Люди считаются близкими по взглядам, если их гипершары пересекаются, т.е.:
D <= R_A + R_B
Если D > R_A + R_B, то между ними есть значимое расхождение(с учётом погрешности).

6. Как это работает в тесте(процедура).

1. Сбор ответов: пользователь отвечает на N_total вопросов. Каждый вопрос привязан к одной или нескольким осям (заранее задано в конструкторе теста).
2. Группировка: для каждой оси j собираем все ответы на вопросы, которые к ней привязаны.
3. Вычисление центра по формуле (1) для каждой оси.
4. Вычисление радиуса по формуле (2) и (3) для каждой оси.
5. Масштабирование: умножаем центры и радиусы на 10, чтобы получить шкалу -100..+100.
6. Вывод результатов: показываем пользователю для каждой оси отрезок [C_j - R_j ; C_j + R_j] и при необходимости общий гипершар.

◥ ▬▬▬▬▬▬ ◆ ▬▬▬▬▬▬ ◤

Конец шизы.

На этом у меня к счастью всё. Как вы поняли, формулы писала нейросеть, а всё остальное(в том числе сама идея) - порождение моей(шучу, нашей, я же её национализировал во благо народа) шизофрении. Вообще есть ещё довольно большое количество того что я хотел написать, но количество блоков и такие вещи как лень мне это не позволяют(я конечно могу их сломать, но мне лень). Всем спасибо за прочтение и пока!

* * *

P.S. Нифига я умный конечно...

Это мой ящик

Мой ящик

Я храню там свой самый страшный секрет. Если вы хотите узнать его, то....

-. . ...- . .-. --. --- -. -. .- --. .. ...- . -.-- --- ..- ..- .--.

-. . ...- . .-. --. --- -. -. .- .-.. . - -.-- --- ..- -.. --- .-- -.

-. . ...- . .-. --. --- -. -. .- .-. ..- -. .- .-. --- ..- -. -..

.- -. -.. -.. . ... . .-. - -.-- --- ..-

-. . ...- . .-. --. --- -. -. .- -- .- -.- . -.-- --- ..- -.-. .-. -.--

-. . ...- . .-. --. --- -. -. .- ... .- -.-- --. --- --- -.. -... -.-- .

-. . ...- . .-. --. --- -. -. .- - . .-.. .-.. .- .-.. .. .

.- -. -.. .... ..- .-. - -.-- --- ..-

Сначала расшифруйте это

Потом короче решите какая часть Дарк соулса лучшая

Ещё вы должны будете объяснить мне чё такое квантовое бессмертие

⠑⠭⠡⠀⠅⠕⠗⠕⠺⠮⠑⠀⠺⠮⠀⠙⠕⠇⠚⠝⠮⠀⠗⠁⠎⠱⠊⠋⠗⠕⠺⠁⠞⠾⠀⠪⠞⠕ (Это я просто так вставил)

Победить Гоку

Прыгнуть 10 раз и хлопнуть в ладоши.

И после этого....

Я покажу что в ящике ёмаё

В общем, так. Для начало сообщу, что я начинаю блог постов и тестов по математике. Хочу сказать, что как только этот пост наберет 10 лайков, я постараюсь выпустить пост на другую интересную математическую тему (какую, пока не скажу, но уже сам для себя определился), но только если будет 10 лайков, иначе, зачем создавать посты, если их никто не читает? Также предлагаю Вам пройти тест по двузначным числам, расположенном на моей странице, а также другие тесты, если Вы их ещё не проходили. Ну а теперь переходим к трюку!

Для начала Вам нужно запомнить всего 10 значений таблицы кубов (возведение в куб означает умножение числа само на себя 3 раза). Фото этой таблицы изображено ниже. Допустим, куб числа 5 равен 5*5*5=125. Таблица изображена ниже

С помощью заучивания этой таблицы Вы сможете называть угадать любое число от 1  до 99, исходя из его кубического значения. Объясняю, как это сделать. Давайте посмотрим на последнюю цифру всех чисел от 1 до 10 возведённых в куб по таблице. У таких цифр, как 1, 4, 5, 6, 9, 0  цифра в конце та же, что и у самой цифры. Т.е, у любого числа, оканчивающегося на 1, значение в кубе тоже заканчивается на 1. Аналогично для 4, 5, 6, 9, 0. В таблице имеется ещё цифры 2, 3, 7, 8, у которых кубы оканчиваются на 8, 7, 3, 2. Обратите внимание, что нету ни одного повтора. Т.е, по последней цифре куба легко вычислить последнюю цифру загаданного числа. При этом, пары чисел 8, 2 и 3, 7 по последней цифре куба, можно сказать, взаимозаменяемые. Запишем в небольшую таблицу последнюю цифру куба числа исходя из последней цифры самого числа
0=0
1=1
2=8
3=7
4=4
5=5
6=6
7=3
8=2
9=9. В целом, можно выучить по таблице, изображенной на фотографии выше

Хорошо. Последнюю цифру числа мы определим. Но как же понять, какая цифра у числа стоит в начале? Ответ: легко. если знать вышеуказанную таблицу от 1 до 10. Объясняю, как. Если число загадано меньшее 10, то достаточно будет вспомнить эту таблицу. А вот если число загадано от 11 до 99, то тут нужно будет, увидев значение в кубе, убрать последние 3 цифры (или слово тысяч). И теперь мы смотрим, между какими двумя кубами от однозначных чисел стоит полученное значение. По нему и угадаем первую цифру числа. Разберём на примерах

Это таблица кубов для чисел от 0 до 99. Назовём её таблица номер 2. Учить её не надо, используем её исключительно для проверки. 
Пример 1. Загадал я число, у меня получилось, что его куб равен 343. Что же этот за число? Ответ: 7. Надо значения кубов от 1 до 10 просто запомнить

Пример 2. Допустим, я загадал число и у меня получилось 91125. Что же я загадал? Давайте разбираться. Последняя цифра загаданного числа равна 5, потому что 5*5*5=125 оканчивается на 5, если знать таблицу кубов от 1 до 10. Теперь разберемся с первой цифрой. Убираем в числе 91125 последние 3 цифры. Остается 91. Значение 91 находится между кубами 4 и 5 (4*4*4=64, 5*5*5=125. 64<91<125). Тогда, получается, что первая цифра числа 4. (Округляем всегда в сторону нижнего значения, кубы чисел от 50 начинаются уже непосредственно с 125000) Таким образом, наш ответ равен 45. Проверяем по второй таблице кубов, изображенной выше. В точку!

Пример 3. Я загадал число, куб которого равен 804357. Так... Ищем последнюю цифру. Куб, оканчивающийся на 7, имеет число 3. (3*3*3=27). Теперь разбираемся с первой цифрой загаданного числа. Убираем 3 последние цифры в числе 804357. Получаем 804. Это значение находится между кубами 9 и 10 (9*9*9=729, 10*10*10=1000). Тогда наша первая цифра равна 9. Ответ: 93. По таблице кубов номер 2 мы имеем полное совпадение! 

Вот так всё просто. Я Вас удивил, признайтесь честно? Вот Вам 5 контрольных примеров, попробуйте решить сами и проверьте себя с помощью таблицы номер 2, когда всё сделаете. 
1) 4913
2) 287496
3) 140608
4) 389017
5) 753571

Пишите в комментариях, справились ли Вы с контрольными примерами и насколько быстро.
Также, если хотите, могу создать тест из 10 вопросов по данной теме, если кто-то захочет. (Пишите об этом в комментариях). А ещё можете в комментариях указать, на какую математическую тему Вы бы хотели увидеть ещё посты  или математические тесты. Со следующим постом я, вроде бы, определился, но Вы можете предложить свои варианты. Удачи!

Всем привет. К сожалению два своих прошлых поста я написал без формул, ведь KKKJ запер меня в своём подвале с помощью бесплатного плова. Но теперь я наконец выбрался и готов дальше его мучать вас образовывать. После окончания постов про Бесконечность я ни разу в своих постах не поднимал тему математики, и вот теперь мы вернулись с чего начинали. На этот раз у нас будут пределы. И вот из-за чего я начал писать этот пост:

Причина написания этого поста. KKKJ не умеет решать пределы!

* * *

Что такое предел функции.

Сначала вспомним, что такое функция и аргумент.


Функция — это математическое правило, которое получает на вход число и возвращает какой-то результат. Например, в функции y = x^2 число умножается на само себя. Передали 2, получили 4.  



Аргумент — это число, которое мы передаём, то есть подставляем в функцию. В нашем примере аргумент равен 2.  

В общем виде функция записывается так:

Здесь f — это функция, x — её аргумент, y — результат её выполнения.  


Предел функции — это значение, к которому стремится функция, когда её аргумент приближается к определённому значению. Проще всего разобраться в этом на примере.


Напишем простую функцию:

  Представим, что x стремится к числу 2, но не достигает его:  


1,9; 1,99; 1,999…1,99999.  

Тогда y будет стремиться к 4:  



3,61; 3,9601; 3,996001…3,9999600001.  

Число будет всё больше и больше, но никогда не достигнет числа 4, а только приблизится к нему.  


Получается, что предел для функции при x, стремящемся к 2, равен 4.  

Предел в математике обозначается с помощью lim:  

Читается выражение так: для функции y = f(x) пределом называется такое число a, к которому приближается y при x, стремящемся к определённой точке x0. Стремление обозначается стрелкой.

Слово «стремится» означает, что переменная приближается к пределу на сколь угодно малую величину, но никогда не достигает его. Посмотрим на другую формулу:  

И сразу построим для неё график:

Мы видим, что чем больше становится значение x, тем ближе функция y = 1/x приближается к нулю, но при этом она никогда не достигнет его. То есть y не может стать равным 0.  

Как решать пределы.

Чтобы вычислить предел, во многих случаях достаточно подставить в функцию значение, к которому стремится её аргумент.

При возникновении неопределённостей, то есть отсутствия решения при подстановке числа, используются разные подходы: упрощение выражений с помощью деления многочленов на переменную в максимальной степени, умножение на сопряжённое выражение, правило Лопиталя и другие приёмы. О таких случаях мы подробно поговорим дальше.  


Один из самых простых способов решения — использовать теоремы о пределах. Это математические правила, которые упрощают вычисления.

Например, предел функции y = c равен c при любом x.


Проверим на графике:

Как мы видим, при любом x функция принимает одно и то же значение: y = 8.  

Существуют и другие теоремы для быстрого решения пределов:

• предел суммы нескольких функций равен сумме их пределов;
• предел произведения функций равен произведению их пределов;
• предел частного двух функций равен частному их пределов. Работает при условии, что знаменатель не обращается в ноль.

Некоторые задачи можно решить с помощью приведения к первому или второму замечательному пределу. В этом случае не нужно раскрывать содержащиеся в них неопределённости — это уже сделано и оформлено в готовый шаблон.  

Но иногда от неопределённостей так легко не избавиться. Придётся достать тетрадь, ручку и вспомнить математику(это для KKKJ).

Неопределённости в пределах.

Прежде чем перейти к неопределённости, вспомним, что такое непрерывные функции.

Непрерывность функции в точке означает, что в этой конкретной точке нет разрывов. Если говорить просто, то на построенном графике для неё в этой точке мы можем определить значение y по x.


Например, функция f(x) = 1/x имеет разрыв в точке x = 0. То есть в этой точке вычислить значение функции невозможно. Это хорошо видно на графике:

Мы видим, что для х = 0 значения y не существует — график не имеет точки с такой координатой.

Чтобы найти предел функции в любой точке непрерывности, достаточно просто подставить значение этой точки в функцию. Например, подставим 1 в f(x) = 1/x. Получаем:

Предел в этом случае будет равен 1.


Но иногда такой способ решения приводит к неопределённости — то есть невозможности определить, существует ли предел функции в заданной точке и каково его значение.

Неопределённости бывают разных видов: ∞/∞ и 0/0.

Неопределённость ∞/∞.

Рассмотрим функцию:

Найдём её предел при x, стремящемся к бесконечности.

Если мы подставим в формулу x, равный бесконечности, то получим в числителе и знаменателе бесконечность.

Бесконечность, делёная на бесконечность, — это неопределённость, так как результат деления может быть равен любому числу. Поэтому нам нужно от неё избавиться.Для этого разделим числитель и знаменатель на x2, то есть на переменную в старшей степени:  

Теперь, если мы подставим бесконечность вместо х, то дроби с х в знаменателе превратятся в 0. В результате получим:  

Неопределённость 0/0.

Найдём предел функции:

Если мы просто подставим в формулу x = 2, то в числителе и знаменателе получим 0.

Ноль, делёный на ноль, — это тоже неопределённость, которая может быть равна любому числу. Чтобы избавиться от неё, разложим числитель и знаменатель дроби на множители.


Числитель можно разложить так:

А знаменатель — так:

Подставим в функцию числитель и знаменатель:

  Сократим дробь на (x − 2). В результате получим:  

Найдём предел функции при х, стремящемся к 2. Для этого просто подставим в формулу х = 2. Получим:  

Таблица пределов. При решении задач удобно пользоваться списком пределов — он помогает понять поведение стандартных функций. Для вычисления достаточно подставить числа в формулу.  

* * *

Фух, вот и всё. Пост было ОЧЕНЬ СЛОЖНО уместить в 50 блоков, даже кое-где пришлось немного урезать. Надеюсь когда-нибудь я выпущу полную версию. Всем спасибо за прочтение и пока!





P.S. Это было сложно...

Всем привет. Вот и последний пост в нашей серии про краткую историю бесконечности. Надеюсь вы хоть сейчас что-нибудь поймёте. А мы начинаем!

Первый выпуск.
Второй выпуск.

* * *

История бесконечности потенциально бесконечна, но фактически, увы и ах, эта статья будет последней в нашем цикле. Кстати, предыдущее предложение звучало бы смешнее на английском (...but actually). Но я пишу её не на языке Ньютона и Шекспира, а на языке Колмогорова и Есенина, так что придётся читателю довольствоваться лишь потенциальным каламбуром.  

В компьютерных RPG часто бывает три концовки: добрая, злая и true ending. В данном случае реальная жизнь повторяет за геймдевом, и в истории бесконечности все эти сюжетные ветки также присутствуют. Под катом я расскажу, в чём их смысл и какие персонажи класса «математик» прошли игру «Жизнь» с этими концовками.

Добрая ветка: конец бесконечности.

Катсцена с флешбеком.

Учитывая все проблемы, связанные с бесконечностью, в математической вселенной логично считать её вселенским злом. А добрая концовка — это победа над злом. Поэтому вернёмся немного назад, в начало XX века, и поговорим подробнее о программе Гильберта.

В основе идей Гильберта лежала некая система убеждений под названием «финитизм». Я говорю «система убеждений», потому что финитизм не был строго формализованной теорией — скорее соображениями о том, как должна выглядеть строгая теория. Гильберт считал, что хорошие математические утверждения не должны оперировать актуальной бесконечностью. Потенциальная бесконечность допустима: например, мы можем можем построить аксиоматику натуральных чисел, взяв нуль и функцию «+1». Функцию «+1» можно применить сколько угодно раз (потенциальная бесконечность), но всё в порядке, пока мы ничего не говорим обо «всех натуральных числах» (актуальная бесконечность)... А вот утверждение «для каждого числа N существует число N+1» уже незаконно, в смысле — не финитно. Это не значит, что оно неверно (мы‑то понимаем, что оно верно). Просто в строгом математическом языке, согласно Гильберту, не должно быть слов «для каждого N», если мы не можем явно перечислить все эти N.

Впрочем, Гильберт вовсе не хотел уничтожить современную ему не‑финитную математику и заставить всех упражняться в громоздком и невыразительном финитном языке. Напротив, Гильберт хотел спасти математику. Он надеялся финитными средствами доказать её непротиворечивость: дескать, пусть мы и оперируем бесконечностями, но мы можем доказать, что имеем право это делать, не используя никаких бесконечностей. 

Именно эту программу и разрушил Гёдель своей теоремой о неполноте. Возьмём, например, арифметику Пеано. Это одна из самых простых математических теорий. Но, несмотря на свою простоту, она уже не финитна: в ней можно говорить «для каждого N». Гильберт мечтал доказать её непротиворечивость с помощью более простой, финитной теории. А Гёдель доказал, что для этого нужна более сложная теория. Чтобы строго обосновать бесконечность, нужна бесконечность побольше.  



Старый добрый ультрафинитизм.

Гёдель доказал, что Гильберт хотел слишком многого. Однако кое‑кто пришёл к парадоксальному выводу, что Гильберт хотел слишком малого. Проблем с теоремой о неполноте не случилось бы, если бы вопрос бесконечности был решён по‑настоящему радикально: запретом даже потенциальной бесконечности. Такая идеология получила название «ультрафинитизм», и её дедушкой стал совершенно не случайно упомянутый во вступительном абзаце великий русский поэт Сергей Есенин.

Нет, Есенин не был тайным математиком. Однако он был отцом. А вот его внебрачный сын, Александр Есенин‑Вольпин, был математиком и отцом ультрафинитизма. Вот такая вот генеалогия.

Есенин‑Вольпин во всём исходил из соображений крайнего скептицизма.

Применительно к математике это означает сомнение не только в бесконечности, но даже и в существовании очень больших конечных чисел. Например, что такое число пять — это легко понять, посмотрев на свою пятерню. А вот что такое пресловутый гугол? Это число больше, чем количество атомов во Вселенной — то есть в принципе, физически нельзя посмотреть на что‑то и воскликнуть — о, тут целый гугол этих штук! А раз так — правомерно ли пользоваться этим числом? Число ли это вообще?

Есенин‑Вольпин смотрит на вас, как будто пересчитывает ваши атомы. 

Добрая ветка: финал.

Казалось бы, у Есенина‑Вольпина очень логичный взгляд на вещи. Нам не должны быть интересны утверждения о числах, которые настолько велики, что на практике никогда нам не понадобятся. И бухгалтеру, и программисту, и инженеру — всем, кроме математиков‑теоретиков, по факту достаточно очень ограниченного диапазона чисел. Так почему бы не построить реалистичную математику, которая работает в этом диапазоне и не изобретает континуумы?

И всё же по каким‑то парадоксальным причинам реалистичную математику так и не построили. У Есенина‑Вольпина были последователи, и всё же ультрафинитизм так и остался на уровне заявлений, программ, меморандумов. Плодотворной математической теории их него так и получилось.

Похоже, для того, чтобы считать 2 + 2 на калькуляторе в смартфоне, по каким‑то непонятным причинам всё же необходима бесконечность. И потому математик, играющий «за добро», в конце игры натыкается на непреодолимую стену.

Злая ветка: триумф бесконечности.

У зла нет стандартов.

Пока одни математики пытались замести бесконечность веником под половик, другие вспоминали старые добрые деньки, когда Ньютон и Лейбниц, беря производные и интегралы, запросто оперировали инфинитезималями. Конечно, потом оказалось, что так нельзя, что этот подход не аксиоматичен и ведёт к ошибкам. Но вдруг существует строгая аксиоматическая теория, в которой можно будет взять бесконечно малое приращение функции и не получить по пальцам линейкой? Как оказалось, такая теория действительно возможна. И в середине XX века на её основе был создан нестандартный анализ

Если точнее, нестандартных анализов есть несколько, и основаны они на разных теориях. Но самым мейнстримным считается нестандартный анализ А. Робинсона, поэтому в дальнейшем будем говорить о нём. Разбор всех существующих нестандартных анализов потянул бы на целую кандидатскую диссертацию по истории математики.


Гипердейстивельность.

В нестандартном анализе Робинсона вместо привычного нам множества действительных чисел R используются множество гипердействительных чисел *R. Рассмотрим вкратце, как они устроены.

Во‑первых, действительные числа входят в гипердействительные. Мы их не выкидываем, только дополняем.

Во‑вторых, существуют инфинитезимали, бесконечно малые — числа, которые меньше по модулю, чем любое действительное число, но при этом не равны нулю.

В‑третьих, у любого действительного числа есть монада — совокупность гипердействительных чисел, которые бесконечно мало отличаются от него. Монада нуля — бесконечно малые числа. Монада единицы — те же бесконечно малые числа, но ещё плюс один. И так далее.

В‑четвёртых, есть бесконечно большие числа. Если разделить единицу на бесконечно малое число, получим бесконечно большое. И наоборот. На нуль по‑прежнему делить нельзя!

В‑пятых, если мы рассмотрим какую‑нибудь монаду «под микроскопом», увеличив её в бесконечное число раз, то увидим, что она повторяет структуру «большой» гипердействительной числовой прямой. Какие‑то бесконечно малые после умножения на бесконечность станут обычными действительными числами. Какие‑то — останутся бесконечно малыми (то есть они изначально были бесконечно малы по сравнению с теми, первыми бесконечно малыми). Окажется, что у каждого бесконечно малого есть своя «микромонада».

И наоборот, если мы сожмём гипердействительную прямую в бесконечное число раз, то множество R превратится в монаду нуля, а из бесконечно больших некоторые станут конечными, заместив R собой.


Что нам стоит *R построить.

Разумеется, пока нет строгой теории, всё описанное выше — это некая «математическая фантастика». Прежде чем пользоваться гипердействительными числами, нужно доказать, что их действительно возможно построить, что это не приведёт к противоречиям, и (крайне желательно) — что результаты, полученные в этом «гипердействительном анализе», применимы к нормальным числам и реальному миру.

Построение гипердействительных чисел Робинсоном можно описать так: как обычные числа строятся из цифр, так мы будем строить гипердействительные числа, используя в качестве «цифр» обычные действительные числа. Каждое действительное число состоит из одной «цифры» — самого себя. Бесконечно малые состоят из нуля «перед запятой» и каких‑то ненулевых «цифр после запятой». Бесконечно большие имеют «ненулевые цифры» в «старших разрядах».

С такими записями можно обращаться примерно так же, как обычные числа можно складывать, умножать и делить в столбик. Например, для обычных чисел справедливо равенство: 1 / 10 = 0.1. Точно так же для гипердействительных чисел единица, делённая на бесконечно большое (с «цифрой в старшем разряде»), даст бесконечно малое («с цифрой после запятой»).

На самом деле всё несколько сложнее, и подобное определение, данное «в лоб» может привести к парадоксам. Поэтому чтобы построить гипердействительные числа строго, нужна пара семестров математической логики и страшные слова вроде «ультрафильтр» и «теорема Лося» (нет, последнее не шутка). Но так или иначе, их строгое построение возможно.  

Что случилось в Вегасе, остаётся в Вегасе. 

Самое крутое в нестандартном анализе Робинсона — это принцип переноса. По сути он говорит, что если мы доказали в нестандартном анализе какое‑то утверждение, в формулировке которого не используются никакие «нестандартные» слова (ни про что не говорится, что оно бесконечно малое, бесконечно большое, принадлежит монаде и т. п.)‑ то это утверждение верно и в обычном математическом анализе. Нестандартности, использованные в процессе доказательства, не мешают получить корректный стандартный результат — можно как бы «забыть», что мы их использовали.

Однако чтобы обосновать принцип переноса, нужна ещё пара семестров математической логики. Робинсон использует аппарат теории моделей — строит гипердействительные числа как нестандартную модель действительных чисел, основанных не теории множеств ZFC. А затем, грубо говоря, заявляет — модели разные, но теория одна и та же. Если утверждение верно в одной из моделей, но не специфично для неё по формулировке — то оно верно не просто в модели, но в теории вообще.

Злая ветка: финал.

Итак, нестандартный анализ был создан и строго обоснован. Он прикольный, удобный, лаконичный. Казалось бы, сам Бог велел учить его в вузах вместо обычного матана.

Почему же этого не происходит?

В этом виновата совокупность факторов. Во‑первых, нестандартный анализ нестандартен. Непривычен. Пришлось бы целиком перестраивать уже отработанную учебную программу. А преподаватели матана — это обычно не юные бунтари, а зрелые консерваторы. Работает — не трогай.

Во‑вторых, преподавание «обычного» мат.анализа удобно строить по заветам Евклида — от аксиом к теоремам, от фундамента к вершинам. Обоснование же нестандартного анализа требует углубленных знаний в области мат. логики. Чтобы студент к концу первого семестра успел научиться дифференцировать, придётся слишком многое принять на веру.

Ну и наконец, язык эпсилон‑дельта — это своего рода «математическая муштра». Он вырабатывает привычку к сложным и строгим рассуждениям — привычку, которая математику рано или поздно обязательно понадобится, какими бы красивыми и мощными абстракциями он до этого ни пользовался.

Нельзя сказать, что нестандартный анализ оказался совсем бесполезен. С его помощью выводят некоторые отдельные результаты, которые было бы совсем громоздко получать классическим путём. Однако всемирной революции он так и не совершил. Поэтому математики, получившие «злую концовку», в итоге преуспели не намного сильнее, чем ультрафинитисты..

True ending: перемирие с бесконечностью.

«Истинная концовка» в RPG — это всегда компромисс. Но не механический компромисс, когда дракон съедает полпринцессы, а рыцарь уносит оставшуюся половину. True ending — это компромисс нетривиальный, творческий, динамический. И вариантов такого компромисса оказалось много. В этой статье мы рассмотрим три из них.

Генцен: удар Гёделю исподтишка.

Гильберт никогда не формулировал в виде строгой теории, что конкретно он понимает под финитизмом. Но его последователи сходятся во мнении, что самая сильная теория, которую можно считать финитной — это примитивно‑рекурсивная арифметика (далее ПРА).Она более слабая, чем арифметика Пеано, и не позволяет формулировать утверждения о бесконечных множествах чисел, которые так смущали Гильберта. В ПРА любое утверждение равносильно некоторому вычислению, и сказать, что объект существует — то же самое, что построить его.  

В 1936 году немецкий математик Герхард Генцен с помощью ПРА доказал непротиворечивость арифметики Пеано, осуществив тем самым мечту Гильберта о финитном обосновании математики. «Разве это не противоречит теореме Гёделя о неполноте?» — спросит внимательный читатель. И действительно, противоречило бы, если бы не одно «но»: Генцен слегка расширил ПРА, добавив туда… трансфинитную индукцию.

Да, вы не ослышались. Для «финитного» обоснования арифметики Генцен использовал ординальные числа Кантора. Причём не какую‑нибудь жалкую «первую бесконечность» ω, а сразу целый ε — первую бесконечность, которую нельзя выразить с помощью арифметических действий с ω. Возникает резонный вопрос: как ему хватило наглости называть такое доказательство финитным?

Генцен воспользовался хитрой, почти юридической уловкой. Даже если ординальные числа бесконечны, все счётные ординалы можно записать с помощью конечных последовательностей символов. Например, число ω — больше любого натурального числа, но его запись имеет длину в один символ. И Генцен с помощью ПРА производил вычисления не над ординальными числами, а над их записями.

Схема его доказательства была следующей:

1. Все утверждения в арифметике Пеано можно пронумеровать ординалами меньше ε.
2. Если в арифметике Пеано существует противоречивое утверждение, то можно с помощью хитрой примитивно‑рекурсивной функции переформулировать его так, что новой формулировке будет соответствовать ординал меньше, чем предыдущий
3. Несмотря на то, что ординальные числа бесконечны, нельзя построить бесконечную убывающую последовательность ординалов, начиная от заданного.
4. Однако пункт 3 противоречит пункту 2. Согласно пункту 2, можно сколько угодно переформулировать противоречивое утверждение, бесконечно уменьшая соответствующий ему ординал.

Таким образом, мы приходим к противоречию и делаем вывод, что противоречивое утверждение в арифметике Пеано не может существовать.

На пункте 3 остановимся подробнее. поскольку это интересное свойство ординальных чисел. Казалось бы, например, раз ω — это бесконечность, то от единицы до ω можно считать бесконечно. А если так, то и обратный отсчёт будет бесконечным. Но на самом деле так не работает. По определению ω — это наименьший бесконечный ординал, и у него нет строго предыдущего, некоего бесконечного ω-1. Если мы начнём обратный отсчёт с ω, то следующим мы должны будем назвать какое‑нибудь конечное число N. А после этого мы максимум за N шагов досчитаем до нуля. С ординалами побольше, вроде ω², можно провести похожее рассуждение. Получается парадоксальная конструкция: бесконечная лестница, по которой вы всегда спуститесь за конечное количество шагов (хотя, возможно, некоторые шаги будут через бесконечное количество ступенек).

Возвращаясь к Генцену: как нетрудно предположить, математическое сообщество приняло его доказательство со смешанными чувствами. Кого‑то его аргументация убедила, кого‑то не очень. В итоге он как бы осуществил мечту Гильбета, но как бы и не совсем.

Крейзель: допрос бесконечности с пристрастием.

Как уже говорилось выше, математическая бесконечность — это странный, но парадоксально эффективный способ формулировать утверждения, которые потом применяются к нормальным конечным числам. Однажды австрийский математик Георг Крейзель задумался: а что, если в утверждениях, связанном с бесконечностью, на самом подразумевается нечто финитное, просто в странной формулировке? И он начал искать это нечто, названное им «финитным ядром». А точнее — стал искать способы искать это нечто.

Оказалось, что во многих случаях доказательство не‑финитного утверждения («во множестве натуральных чисел есть хотя бы одно такое, что…») можно преобразовать в доказательство финитного утверждения («среди первых N натуральных чисел есть хотя бы одно такое, что…»). И даже если доказательство использует всякую неконструктивную муру типа аксиомы выбора, с помощью этого преобразования можно вытянуть из него конкретную численную оценку.

Так Крейзель стал основоположником направления, которое сейчас называется proof mining.

Математики‑идеалисты протестуют против методов Крейзеля.

В каком‑то смысле он пришёл к тому, чего хотел достичь Есенин‑Вольпин — только с другой стороны. Вместо того, чтобы создавать новую математику, основанную на крайнем скепсисе, он научился с помощью скепсиса выбивать из старой математики проверяемые, вычислимые признания.

Фридман: вывернуть бесконечность наизнанку.

Традиционная математика идёт от аксиом к теоремам. Никто не начинает с теоремы и не придумывает аксиомы, при которых она верна. По крайней мере, никто так не делал до 1974 года. В том году американский математик Харви Фридман выступил с докладом, который положил начало так называемой «реверсивной математике».

Фридман и его последователи стали анализировать различные классические теоремы, без которых современный математик не может (или не хочет) представить себе жизни. Для каждой из этих теорем они ставили вопрос: в какой максимально слабой математической теории можно доказать эту теорему? Оказалось, что далеко не везде нужна арифметика Пеано. Часто можно обойтись намного более слабыми арифметиками, такими как арифметика элементарных функций (EFA).  

Фридману принадлежит так называемая «великая гипотеза Фридмана»: почти все утверждения о конечных объектах, которые представляют реальный интерес для людей, можно доказать в очень слабых арифметиках вроде EFA. Оговорка «представляют реальный интерес» в этой гипотезе присутствует потому, что контрпримеры для неё легко построить искусственно. Однако если не пытаться быть адвокатом дьявола и сосредоточиться на реальных задачах, то окажется, что вся мощь арифметики Пеано нужна очень редко.

Реверсивная математика окончательно отвергает платоновский идеализм. Нет никаких «идеальных чисел», которые существуют где‑то в мире эйдосов независимо от того, что о них думают. Есть только соглашения между математиками и последствия этих соглашений.

С этой мыслью перекликается знаменитый, но сложный для понимания парадокс Сколема. Он основан на утверждении из теории моделей: если у теории есть бесконечная модель, то у неё есть счётная модель. Даже если в теории говорится о существовании континуума (бесконечного множества, которое больше, чем множество натуральных чисел), то модель этой теории всё равно можно построить на натуральных числах, и континуум окажется подмножеством натуральных чисел. Его элементы нельзя будет пересчитать изнутри модели, поскольку она будет построена так, чтобы запретить этот пересчёт. Однако снаружи «континуум» окажется счётным.

В каком‑то смысле парадокс Сколема говорит о том, что бесконечность относительна. То, насколько она бесконечна — вопрос призмы, через которую мы на неё смотрим.

The true ending is no ending.

Если история математики что‑то и предсказывает, то только то, что историю математики невозможно предсказать — её можно лишь творить. Бесконечность — это чудотворный парадокс, лежащий в основании математики. Бессмысленная, контринтуитивная, ненужная — и при этом бесконечно плодотворная. Каждый раз, когда бесконечность ставила математиков в тупик, математике это шло лишь на пользу. Ведь когда у тебя пытливый ум, тупик — это не ответ, а вопрос с миллионом ответов. Вопрос, который можно решать в обход или напролом, игнорируя, выворачивая на изнанку, поднимаясь на мета‑уровень, или ещё каким‑то способом, который в 2025 году ещё не изобрели.

Судя по всему, история бесконечности закончится только вместе с историей человечества. А вот серия статей на этом заканчивается(да, KKKJ, я тебя надул!).

* * *

Ну вот и всё, я это сделал... Фух. Обязательно прочитайте весь пост, пожалуйста. В написание этих постов я вложил поистине ОГРОМНОЕ количество сил и времени. Всем спаибо за прочтение, пока.

-⛧Я уместил этот гигантский пост не то что в 50, а даже в 20 блоков. Хотя это было физически невозможно. Но кто такая ваша физика, когда есть Бесконечность? АХАХАХАХАХ!⛧-

Всем привет. Я надеюсь вы прочитали прошлый пост, потому что без него вы не поймёте этот. Если ещё не прочитали, бегом читать. А если уже прочитали, то присаживайтесь поудобнее, собирайте свои мозги в одну кучу и начинайте. Приятного прочтения.

* * *

Множить множества.

Во второй половине XIX века Георг Кантор при поддержке Ричарда Дедекинда стал развивать теорию, которая впоследствии получила название «наивная теория множеств». Почему наивная — обсудим позже, пока сосредоточимся на последнем слове в названии.

Множество — это самая абстрактная математическая структура, которая определяется как совокупность любых объектов. Можно говорить о множестве котиков, множестве читателей этой статьи или множестве простых чисел меньше 2025. Но, естественно, математику больше интересуют множества каких-то математических объектов.

Кажется, что множество не очень интересная штука. Однако оказалось, что на фундаменте теории множеств можно построить всю остальную математику. Например, можно определить натуральные числа, не используя ничего кроме множеств. Определим нуль как пустое множество ∅, не содержащее ни одного элемента. Затем каждое следующее число определим как множество, содержащее все предыдущие числа. Тогда единица будет { ∅ }, двойка — { ∅, { ∅ } }, тройка — { ∅, { ∅ }, { ∅, { ∅ } } } и так далее. Таким образом, весь натуральный ряд строится буквально из пустоты.

Математика давно нуждалась в прочном фундаменте. Если в геометрии со времён Евклида была стройная система понятий и аксиом, то в других областях математики царила та или иная степень анархии. Однако во всей этой истории с множествами был большой подвох. Когда мы говорим просто о натуральных числах, то имеем в виду их потенциальную бесконечность. Но если мы говорим о множестве натуральных чисел — это уже бесконечность актуальная. Все натуральные числа содержатся во множестве сразу, а не добавляются по необходимости. Поэтому теория множеств немедленно подверглась критике видных математиков своего времени, таких как Анри Пуанкаре и Леопольд Кронекер. Однако паровоз прогресса было уже не остановить.

50 оттенков актуальной бесконечности.

Самым удивительным открытием Кантора было то, что некоторые бесконечности бесконечнее других. А именно — что множество действительных чисел больше, чем множество натуральных.

Сперва этот факт может показаться не особенно удивительным. Разумеется, действительных чисел больше, ведь они включают в себя натуральные. Однако вспомним парадокс Галилея: множество натуральных чисел включает в себя множество точных квадратов, но при этом каждому натуральному числу соответствует его квадрат, то есть их одинаковое количество. Открытие Кантора состоит в том, что натуральных чисел меньшее количество, чем действительных. Иначе говоря — не существует способа пересчитать действительные числа. Даже если мы возьмём бесконечную последовательность действительных чисел, в ней будет содержаться лишь бесконечно малая часть от всего множества действительных чисел. 

Более того, Кантор показал, что для любой бесконечности можно построить бесконечность ещё больше. Для любого множества можно взять множество всех его подмножеств (так называемое супермножество). Кантор показал, что супермножество всегда больше, чем исходное множество. Если исходное множество бесконечно, то супермножество более бесконечно. Таким образом, существует бесконечное множество разных бесконечностей.

Кстати, помните, как в начале первой статьи мы говорили про Упанишады и про то, что древние индусы выделяли несколько видов бесконечностей? Получается, они опередили своё время на две с половиной тысячи лет.

Для описания размеров бесконечных множеств Кантор придумал специальные кардинальные числа. Самой маленькой бесконечности, количеству натуральных чисел, соответствует кардинальное число ℵ₀ (алеф-нуль), бесконечности действительных чисел — кардинальное число ℵ₁ (алеф-один), и так далее. В каком-то смысле кардинальные числа являются продолжением натурального ряда — ведь натуральные числа тоже описывают размеры множеств, просто эти множества конечны.

Так бесконечность действительно стала числом, да ещё и не одним.

∞ + 1 ≠ ∞


Чтобы окончательно довести до паники математиков своего времени, Кантор придумал не один вид бесконечных чисел, а целых два. Второй вид называется ординальные (переводя на русский — порядковые) числа. Идея Кантора заключалась в следующем: натуральные числа можно использовать как для указания количества (семь яблок), так и порядка (седьмое по счёту яблоко). Кардинальные числа указывают количество, но не порядок. ℵ₀ — это «бесконечность», но не «бесконечностный по счёту». С помощью кардинальных чисел можно указать количество действительных чисел, но не пересчитать их все. А значит, надо было придумать ещё один вид чисел.

Математическая теория, стоящая за ординальными числами, достаточно сложна, но если на пальцах: вспомним, как мы конструировали натуральные числа из пустоты. Каждому числу соответствовало множество, содержащее все предыдущие числа. А если взять множество, содержащее все натуральные числа — какое число тогда получится? Кантор подумал и решил — пусть это будет ординальное число ω, оно же — самая маленькая ординальная бесконечность.

Что будет, если взять множество, состоящее из всех натуральных чисел и ещё ω? Будет ординальное число ω + 1, и оно не равно ω. Как это показать? Множества, которые соответствуют этим числам, хоть и имеют одинаковый размер (им обоим соответствует кардинальное число ℵ₀), но при этом не одинаковы. Во множестве, которое соответствует ординальному числу ω + 1, есть особый элемент ω, который больше всех остальных (т. е. включает в себя любой другой элемент из этого множества). Во множестве натуральных чисел такого элемента нет — какое бы натуральное число мы ни выбрали, всегда найдётся число побольше.

Читателю на заметку: если вы играете в игру «кто назовёт самое большое число» и уже дошли до бесконечности, дальше нужно сразу определиться, будете вы играть в кардинальные или в ординальные числа. В первом случае после бесконечности нельзя назвать бесконечность плюс один, ведь это то же самое число. А во втором случае числа разные.

Вообще ординальные числа устроены очень увлекательно. После того, как в первый раз досчитал до бесконечности, можно досчитать до неё второй раз и получить ординальное число 2ω. Если досчитать до бесконечности ещё раз, то дойдёшь до числа 3ω. А досчитав до бесконечности бесконечное число раз, получишь ординальное число ω². Спустя бесконечность бесконечностей бесконечностей будет ω³, а если во фразе «спустя бесконечность бесконечностей бесконечностей бесконечностей…» дописать слово «бесконечностей» бесконечное число раз, то можно дойти и до ординального числа «ω в степени ω».

Впрочем, и это ещё не предел. Дальше лежат ординальные числа «ω в степени ω в степени ω», «ω в степени ω в степени ω в степени ω» и так далее. За ними — ординальное число ε, которое больше, чем любое число предыдущего вида. Если аналогичным образом поступить с числом ε, получится число ε₁, если сделать так же с ним — будет ε₂ и так далее. На эпсилонах история не заканчивается, дальше идут ординальные числа, конструируемые ещё более изощрёнными способами. И лишь спустя бесконечное число разновидностей бесконечности, так далеко, что это не могут представить даже самые выдающиеся математики, идёт ординальное число ω₁ — первый несчётный ординал, который в пересчёте на кардиналы больше, чем ℵ₀. Вот так между двумя скучными кардинальными числами умещается целая вселенная из ординальных. 

Почти наверняка у читателя при виде всех этих сложностей возник простой вопрос: а зачем? Дело в том, что для ординальных чисел работает принцип математической индукции. Если некое утверждение верно для нуля, и если из того, что это утверждение верно для всех ординалов меньше N, следует, что оно верно для N — значит, оно верно для всех ординалов. Не для какого-то жалкого бесконечного числа натуральных чисел, а прям для всех бесконечных бесконечностей бесконечностей. С помощью индукции для ординальных чисел (также называемой трансфинитной индукцией) можно доказывать теоремы даже для очень больших бесконечных множеств, пронумеровав их элементы ординалами.

И гений, парадоксов друг.

Основная причина, по которой наивная теория множеств называлась наивной — это то, что она позволяла конструировать множества по произвольному принципу. Оказалось, что это ведёт к большому числу парадоксов.

Самый каноничный пример: возьмём множество абсолютно всех множеств. Тогда оно в том числе будет содержать и все свои подмножества — то есть являться собственным супермножеством. Однако, как доказал Кантор, супермножество должно быть всегда больше исходного множества. Этот парадокс называется парадоксом Кантора. 

Или другой пример: возьмём множество всех ординальных чисел. Тогда оно само должно соответствовать ординальному числу. Но это число должно быть больше всех ординальных чисел из множества, и, следовательно, не входит во множество всех ординальных чисел. Это парадокс Бурали-Форти. 

Третий пример. Рассмотрим множество, состоящее из всех множеств, которые не содержат сами себя. Будет ли это множество содержать само себя? И ответ да, и ответ нет ведут к противоречию. Это парадокс Рассела.

Казалось бы, теория с таким количеством парадоксов должна немедленно отправиться на помойку. Но, как и в случае с методом Кавальери, инструмент был слишком удобен, чтобы от него отказываться. Поэтому математики стали «фиксить баги» — вводить ограничения, запрещающие конструировать «парадоксальные» множества. Например, ввели аксиому фундирования, которая требует, чтобы у последовательности множеств, где каждое следующее является элементом предыдущего, обязательно был конец. Аксиома фундирования исключает парадоксы Кантора и Рассела (но не парадокс Бурали-Форти, с ним пришлось бороться иначе). 

При этом математики не отказались в принципе рассматривать «парадоксальные совокупности» — они просто перестали считать их множествами и стали называть классами. Таким образом можно говорить, допустим, о классе всех ординальных чисел. Современная математика ничего не говорит о количествах элементов таких классов, но если бы говорила — это было бы что-то настолько большое, что его даже нельзя назвать бесконечностью.

Иллюзия выбора.

В современной аксиоматической теории множеств особое место занимает так называемая аксиома выбора. Она гласит следующее: если у нас есть семейство множеств, то существует новое множество, которое содержит по одному элементу из каждого множества семейства. Допустим, если наше семейство множеств — {1, 2}, {3, 4} и {5, 6}, то можно сконструировать множество {1, 3, 5}, содержащее по одному элементу из каждого. Впрочем, для конечного семейства конечных множеств аксиома выбора не требуется. Она нужна для бесконечных семейств «сложных» множеств, в которых не всегда можно явно указать на какой-то конкретный элемент.

На первый взгляд аксиома выбора кажется абсолютно очевидной. Однако Рассел (тот, у которого парадокс) писал о ней так: «Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под конец же вообще перестаешь понимать, что же она означает».

У аксиомы выбора есть два неприятных свойства. Во-первых, из неё следует всякая дичь. Например, знаменитый парадокс Банаха-Тарского: можно разрезать шар на конечное число кусков, из которых потом можно собрать два точно таких же шара. На самом деле, вопреки названию, парадокс Банаха-Тарского не является парадоксом: поскольку куски, на которые режется шар, имеют очень «плохую» форму, на них не распространяется закон сохранения объёма (для них вообще не определено понятие объёма). Но и принять это утверждение на полном серьёзе готов далеко не каждый математик. 

Во-вторых, результаты, получаемые с помощью аксиомы выбора, неконструктивны. С её помощью можно доказать существование, но невозможно привести конкретный пример. Точнее, когда можно привести конкретный пример, тогда аксиома выбора не нужна. В том же парадоксе Банаха-Тарского нельзя сконструировать конкретное разрезание, можно только сказать, что оно есть. Разумеется, это тоже звучит не очень воодушевляюще.

Однако отказываться от аксиомы выбора тоже идея так себе. Без неё рассыпаются многие конструкции в теории множеств — например, на аксиому выбора неявно опирается построение ординальных чисел. В итоге аксиома имеет некий полулегальный статус: математики пользуются ей при необходимости, но всегда специально оговаривают её использование. Считается, что доказательства с аксиомой выбора имеют «иную познавательную ценность», нежели доказательства без неё.

Серый кардинал.

Кардинальные числа, конечно, скучноваты по сравнению с ординалами, но есть у них и свои приколы. Самый известный из них — так называемая континуум-гипотеза. Верно ли, что не бывает множества, которое больше, чем множество натуральных чисел, но меньше, чем множество действительных чисел? Иначе говоря — верно ли, что за ℵ₀ сразу следует ℵ₁? Этот вопрос сформулировал Кантор в 1877 году, но ответ был найден лишь почти через век, в 1963-м. Суть этого ответа можно описать следующим анекдотом:

 — Моня, а сколько будет дважды два?
— А мы таки покупаем или продаем?  

Если без шуток — в общепринятой аксиоматике теории множеств континуум-гипотезу невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Можно взять в качестве новой аксиомы утверждение, что между ℵ₀ и ℵ₁ нет других кардиналов. Или альтернативно можно взять другую аксиому — что между ℵ₀ и ℵ₁ есть ещё ровно один кардинал алеф-полтора. Или ещё два кардинала. Или любое конечное количество (но вот бесконечное уже нельзя). Любая из этих аксиом прекрасно согласуется с остальной математикой.

Помимо простой континуум-гипотезы, есть также обобщённая континуум-гипотеза. Она гласит, что не только между ℵ₀ и ℵ₁, но и между любыми двумя соседними алефами нет промежуточных кардиналов. Интересный момент: обобщённая континуум-гипотеза также независима от аксиом теории множеств, но если принять её саму за аксиому, то аксиому выбора можно будет вывести как теорему. 

Бесконечно большой облом.

Несмотря на все свои парадоксы, теория множеств внушала большой оптимизм математикам начала XX века. Строгий готический собор математики на незыблемом фундаменте аксиоматической теории множеств — это ли не мечта? В начале 1920-х Давид Гильберт сформулировал свою знаменитую программу, предполагавшую полную аксиоматизацию всей математики. Казалось, что скоро всё станет хорошо, можно будет забыть о парадоксах и философских спорах и просто собирать теоремы из аксиом, как конструктор Lego. Реальность, однако, внесла свои коррективы. 

В 1931 году молодой математик Курт Гёдель опубликовал две так называемых теоремы о неполноте. Первая гласила, что в любой достаточно сложной теории существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть средствами этой теории. Вторая утверждала ещё более неприятную вещь: если достаточно сложная теория непротиворечива, то в ней невозможно доказать её собственную непротиворечивость. Что такое «достаточно сложная теория» — простыми словами объяснить трудно, но если вкратце, то все теории, которыми реально пользуются математики, достаточно сложные. 

В сумме эти две теоремы означали, что программа Гильберта неосуществима. Никогда нельзя быть уверенным, не содержит ли теория парадоксов, пока не придумаешь более мощную теорию — а тогда будет непонятно, нет ли парадоксов уже в ней. А выдвинув гипотезу, всегда можно ожидать, что она, как континуум-гипотеза, окажется и недоказуема, и неопровержима. И придётся отложить конструктор Lego и опять лезть в основания математики, как советскому автолюбителю под ржавые Жигули.

Почему мы обсуждаем теоремы Гёделя в статье про бесконечность? А потому, что доказательство Гёделя было концептуально похоже на доказательство Кантором того факта, что действительных чисел больше, чем натуральных. Используя хитрую технику, известную теперь как Гёделевская нумерация, Гёдель показал, что в достаточно сложной теории множество доказуемых утверждений попросту меньше, чем множество верных утверждений. И так же, как нельзя пронумеровать действительные числа, нельзя и «продоказывать» верные утверждения. Так бесконечность нанесла свой самый подлый и сокрушительный удар математике.

Впрочем, сейчас уже двадцать первый век, и можно с уверенностью сказать, что математика пережила удар. Конечно, пришлось принять тот факт, что всё никогда не будет просто, что за любым углом может поджидать парадокс или недоказуемая теорема. Но люди, которые пасуют перед сложностями, не идут в математики. 

На Гёделе история бесконечности не заканчивается, а вот эта часть статьи, к сожалению, подходит к концу. Хотелось бы верить, что читать её было бесконечно интересно.

* * *

Ну вот на сегодня и всё. Создавать эту статью было гораздо сложнее чем предыдущую потому что информации было в разы меньше. Но я справился. Всем спасибо за прочтение, пока!

Я опять уместил этот пост в 50 блоков... Да я чёртов гнений!