Пределы в математике: что это такое и как их решать.

Всем привет. К сожалению два своих прошлых поста я написал без формул, ведь KKKJ запер меня в своём подвале с помощью бесплатного плова. Но теперь я наконец выбрался и готов дальше его мучать вас образовывать. После окончания постов про Бесконечность я ни разу в своих постах не поднимал тему математики, и вот теперь мы вернулись с чего начинали. На этот раз у нас будут пределы. И вот из-за чего я начал писать этот пост:

Причина написания этого поста. KKKJ не умеет решать пределы!

* * *

Что такое предел функции.

Сначала вспомним, что такое функция и аргумент.


Функция — это математическое правило, которое получает на вход число и возвращает какой-то результат. Например, в функции y = x^2 число умножается на само себя. Передали 2, получили 4.  



Аргумент — это число, которое мы передаём, то есть подставляем в функцию. В нашем примере аргумент равен 2.  

В общем виде функция записывается так:

Здесь f — это функция, x — её аргумент, y — результат её выполнения.  


Предел функции — это значение, к которому стремится функция, когда её аргумент приближается к определённому значению. Проще всего разобраться в этом на примере.


Напишем простую функцию:

  Представим, что x стремится к числу 2, но не достигает его:  


1,9; 1,99; 1,999…1,99999.  

Тогда y будет стремиться к 4:  



3,61; 3,9601; 3,996001…3,9999600001.  

Число будет всё больше и больше, но никогда не достигнет числа 4, а только приблизится к нему.  


Получается, что предел для функции при x, стремящемся к 2, равен 4.  

Предел в математике обозначается с помощью lim:  

Читается выражение так: для функции y = f(x) пределом называется такое число a, к которому приближается y при x, стремящемся к определённой точке x0. Стремление обозначается стрелкой.

Слово «стремится» означает, что переменная приближается к пределу на сколь угодно малую величину, но никогда не достигает его. Посмотрим на другую формулу:  

И сразу построим для неё график:

Мы видим, что чем больше становится значение x, тем ближе функция y = 1/x приближается к нулю, но при этом она никогда не достигнет его. То есть y не может стать равным 0.  

Как решать пределы.

Чтобы вычислить предел, во многих случаях достаточно подставить в функцию значение, к которому стремится её аргумент.

При возникновении неопределённостей, то есть отсутствия решения при подстановке числа, используются разные подходы: упрощение выражений с помощью деления многочленов на переменную в максимальной степени, умножение на сопряжённое выражение, правило Лопиталя и другие приёмы. О таких случаях мы подробно поговорим дальше.  


Один из самых простых способов решения — использовать теоремы о пределах. Это математические правила, которые упрощают вычисления.

Например, предел функции y = c равен c при любом x.


Проверим на графике:

Как мы видим, при любом x функция принимает одно и то же значение: y = 8.  

Существуют и другие теоремы для быстрого решения пределов:

• предел суммы нескольких функций равен сумме их пределов;
• предел произведения функций равен произведению их пределов;
• предел частного двух функций равен частному их пределов. Работает при условии, что знаменатель не обращается в ноль.

Некоторые задачи можно решить с помощью приведения к первому или второму замечательному пределу. В этом случае не нужно раскрывать содержащиеся в них неопределённости — это уже сделано и оформлено в готовый шаблон.  

Но иногда от неопределённостей так легко не избавиться. Придётся достать тетрадь, ручку и вспомнить математику(это для KKKJ).

Неопределённости в пределах.

Прежде чем перейти к неопределённости, вспомним, что такое непрерывные функции.

Непрерывность функции в точке означает, что в этой конкретной точке нет разрывов. Если говорить просто, то на построенном графике для неё в этой точке мы можем определить значение y по x.


Например, функция f(x) = 1/x имеет разрыв в точке x = 0. То есть в этой точке вычислить значение функции невозможно. Это хорошо видно на графике:

Мы видим, что для х = 0 значения y не существует — график не имеет точки с такой координатой.

Чтобы найти предел функции в любой точке непрерывности, достаточно просто подставить значение этой точки в функцию. Например, подставим 1 в f(x) = 1/x. Получаем:

Предел в этом случае будет равен 1.


Но иногда такой способ решения приводит к неопределённости — то есть невозможности определить, существует ли предел функции в заданной точке и каково его значение.

Неопределённости бывают разных видов: ∞/∞ и 0/0.

Неопределённость ∞/∞.

Рассмотрим функцию:

Найдём её предел при x, стремящемся к бесконечности.

Если мы подставим в формулу x, равный бесконечности, то получим в числителе и знаменателе бесконечность.

Бесконечность, делёная на бесконечность, — это неопределённость, так как результат деления может быть равен любому числу. Поэтому нам нужно от неё избавиться.Для этого разделим числитель и знаменатель на x2, то есть на переменную в старшей степени:  

Теперь, если мы подставим бесконечность вместо х, то дроби с х в знаменателе превратятся в 0. В результате получим:  

Неопределённость 0/0.

Найдём предел функции:

Если мы просто подставим в формулу x = 2, то в числителе и знаменателе получим 0.

Ноль, делёный на ноль, — это тоже неопределённость, которая может быть равна любому числу. Чтобы избавиться от неё, разложим числитель и знаменатель дроби на множители.


Числитель можно разложить так:

А знаменатель — так:

Подставим в функцию числитель и знаменатель:

  Сократим дробь на (x − 2). В результате получим:  

Найдём предел функции при х, стремящемся к 2. Для этого просто подставим в формулу х = 2. Получим:  

Таблица пределов. При решении задач удобно пользоваться списком пределов — он помогает понять поведение стандартных функций. Для вычисления достаточно подставить числа в формулу.  

* * *

Фух, вот и всё. Пост было ОЧЕНЬ СЛОЖНО уместить в 50 блоков, даже кое-где пришлось немного урезать. Надеюсь когда-нибудь я выпущу полную версию. Всем спасибо за прочтение и пока!





P.S. Это было сложно...