Математика и демократия: диктатура неизбежна?

Сегодня предлагаю объединить две самые душные темы - политика и математика вместе, и порассуждать о демократии с математической точки зрения, а конкретно о парадоксе Кондорсе и его обобщении - теореме Эрроу.

Сразу скажу: заявления недобросовестных личностей о том, что она доказывает невозможность демократии ложны, как минимум потому, что в них не приводится никакого определения демократии, а следовательно непонятно, невозможность чего доказывается. А демократия понятие весьма сложное и свести его к математическому определению невозможно.

Ке́ннет Джо́зеф Э́рроу - американский экономист, лауреат Нобелевской премии

Начнем с простого, представим, что болельщики России решили выбрать самую лучшую футбольную команду в стране. Претендента три - Зенит, ЦСКА и Спартак. Болельщики проранжировали их следующим образом:

• 5%  расставили команды так: Зенит > Спартак > ЦСКА
• 20% расставили команды так: Зенит > ЦСКА > Спартак
• 10% расставили команды так: Спартак > ЦСКА > Зенит
• 30% расставили команды так: Спартак > Зенит > ЦСКА
• 20% расставили команды так: ЦСКА > Зенит > Спартак
• 15% расставили команды так: ЦСКА > Спартак > Зенит

Исходя их этих данных попытаемся проранжировать команды с первого места по третье, с соответствием с мнением болельщиков. Получим следующее:

• 55% болельщиков считает, что Спартак > Зенит
  
• 55% болельщиков считает, что Зенит > ЦСКА 
• 55% болельщиков считает, что ЦСКА > Спартак 
  

Получился замкнутый цикл, где любой претендент будет проигрывать одной из оставшихся команд. Несмотря на то, что мнение каждого отельного болельщика транзитивно (то есть удовлетворяет условию, что если A>B и B>C, то A>C), суммарное мнение всех избирателей уже не транзитивно. Это и называется парадоксом Кондорсе.

Сам Кондорсе предлагал следующий выход из него - смотреть, чья победа наиболее убедительная. Например, если бы в соревновании Спартака против Зенита симпатии болельщиков были 70% на 30%, Зенита против ЦСКА 60% на 40%, а ЦСКА против Спартака 55% на 45%, то победу стоило бы отдать Спартаку, так как он побеждает с наибольшим преимуществом. Однако, как показал наш случай, этот метод не универсален, так как преимущество может быть равным. 

Кондорсе, Мари Жан Антуан Никола (звали же человека)

Маленькая историческая сноска: Кондорсе не только был математиком и философом, но и активно участвовал в политике своего времени. Будучи сторонником республиканских идей он поддержал Великую Французскую Революцию и примкнул к жирондистом, а когда тех начали преследовать, попал в тюрьму, где, по официальной версии, самоубился при помощи яда. 

Возвращаясь к лучшей футбольной команде, ведь можно не разбивать их по парам, а решить всё иначе. Спартаку можно отдать первое место, ведь его на первое место ставят 40%, на второе - ЦСКА с 35%, и третье - Зенит с его 25%. Однако, если бы Зенит не участвовал в выборе, то тогда бы 55% выборщиков проголосовало бы за ЦСКА, и Спартак бы проиграл. Это нарушает принцип независимости от посторонних альтернатив, согласно которому нельзя добавить или убрать варианты так, что бы другие поменялись местами. 

Чем же так важен принцип независимости от посторонних альтернатив? В политике есть такое явление как спойлеры - партии или кандидаты, созданные не что бы выиграть выборы, а что бы перетянуть часть чьего-то электората себе. Яркий пример - Коммунисты России, нужные лишь для того, что бы в нужный момент уменьшить голоса КПРФ.

Также почти все партии в двухпартийных системах являются спойлерными, например либертарианцы в США или зеленые в Австралии. Есть множество способов бороться со спойлерами (например - второй тур), но полностью исключить их фактор можно только соблюдением принципом независимости от посторонних альтернатив, где добавление новой партии не изменяло бы расстановку силу между уже имеющимися. 

Итак, теперь, зная про транзитивность и принцип независимости от посторонних альтернатив, можно перейти к теореме Эрроу. Предположим у нас есть некоторое количество выборщиков (больше одного), которые составляют список, где ранжируют некоторое количество альтернатив (больше 2) от худшей к лучшей. Нам необходимо придумать некоторый алгоритм действий, который из всех списков выборщиков сделает один.

И теорема Эрроу гласит, что если при этом соблюдать транзитивность и принцип независимости от посторонних альтернатив, то единственный способ сделать это - просто взять список одного из выборщиков и следовать ему.  Тем самым, один из выборщиков становится диктатором, ведь мнения всех остальных не учитываются. 

На практике это означает, что невозможно построить такую демократическую систему выборов, которая была бы неуязвима к спойлерам. Ярким примером победы благодаря спойлеру могут служить выборы президента США в 2000, когда разница между Бушем и Гором во Флориде была всего лишь 537 голосов. Но был и третий кандидат - Ральф Нейдер от партии Зеленых, за которого проголосовало 97 488. Если бы он не участвовал в выборах, его электорат скорее всего проголосовал бы за Гора, и тот бы выиграл выборы. Стоит также упомянуть, что у республиканской партии тоже были спойлеры - Либертарианская и Реформаторская партии, однако за них проголосовало уж совсем мало народу. (По 0,4% за каждую)